a)

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 20$^{2}$ + 20$^{2}$ $\Rightarrow$ AC = 20$\sqrt{2}$ (cm).

Xét tam giác ABC, có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow$ MN = $\frac{AC}{2}$ = $\frac{20\sqrt{2}}{2}$ = 10$\sqrt{2}$ (cm).

Như vậy, độ dài các cạnh của hình vuông được tạo bởi các nếp gấp ở hình 23b là 10$\sqrt{2}$ cm.

b)

Theo hình vẽ, ta thấy:

OP = PN = $\frac{1}{4}$DC = $\frac{1}{4}$.20 = 5;             

OM = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{1}{2}$.20 = 10;

MN = $\sqrt{5^{2} + 5^{2}}$ = 5$\sqrt{2}$.