a)

Xét tam giác ABC đều có cạnh bằng a, đường cao AH.

Vì tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow$ BH = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = $\sqrt{AB^{2} - BH^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Như vậy: S$_{ABC}$ = $\frac{AH.BC}{2}$ = $\frac{1}{2}$.$\frac{a\sqrt{3}}{2}$.a = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$.

b)

Xét tam giác DEF cân tại D có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b, đường cao DK.

Vì tam giác DEF cân tại D nên đường cao DK đồng thời là đường trung tuyến $\Rightarrow$ DK = $\frac{EF}{2}$ = $\frac{a}{2}$.

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác DKE vuông tại K, ta có:

DK = $\sqrt{DE^{2} - EK^{2}}$ = $\sqrt{b^{2} – (\frac{a}{2})^{2}}$ = $\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}$.

Như vậy: S$_{DEF}$ = $\frac{DK.EF}{2}$ = $\frac{1}{2}$.($\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}$).b = $\frac{b\sqrt{b^{2} – \frac{a^{2}}{4}}}{2}$.