a. $\left\{\begin{matrix}3x-y=5 & \\ 5x+2y=23 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3x-5(1) & \\ 5x+2y=23(2) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (1) vào phương trình (2) ta được:

$5x+2(3x-5)=23$

$\Leftrightarrow 5x+6x-10=23$

$\Leftrightarrow 5x+6x=23+10$

$\Leftrightarrow 11x=33$

$\Leftrightarrow x=3$

Thế x = 3 vào phương trình (1) ta được: 

$y=3.3-5\Leftrightarrow y=4$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $(3;4)$

b. $\left\{\begin{matrix}3x+5y=1 & \\ 2x-y=-8 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x+5y=1 & \\ -y=-8-2x & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x+5y=1(3) & \\ y=8+2x (4) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (4) vào phương trình (3) ta được:

$3x+5(8+2x)=1$

$\Leftrightarrow 3x+40+10x=1$

$\Leftrightarrow 13x=1-40$

$\Leftrightarrow 13x=-39$

$\Leftrightarrow x=-3$

Thế x = - 3 vào phương trình (4) ta được:

$y=8+2.(-3)\Leftrightarrow y=2$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $(-3;2)$

c. $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{y}=\frac{2}{3} & \\ x+y-10=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x=2y & \\ x+y=10 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-2y=0(5) & \\ y=10-x(6) & \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (6) vào phương trình (5) ta được:

$3x-2(10-x)=0$

$\Leftrightarrow 3x-20+2x=0$

$\Leftrightarrow 5x-20$

$\Leftrightarrow 5x=20$

$\Leftrightarrow x=4$

Thế x = 4 vào phương trình (6) ta được:

$y=10-4=6$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $(4;6)$