a. Với a = - 1 thì hệ phương trình (1) trở thành:

$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ [(-)1^{2}+1]x+6y=2.(-1) & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (1+1)x+6y=-2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ 2x+6y=-2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ x+3y=-1 & \end{matrix}\right.$

Ta thấy hệ phương trình vô nghiệm vì hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ song song.

$(a=a'=1; b=b'=3; c\neq c')$

b. Với a = 0 thì hệ phương trình (1) trở thành:

$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (0^{2}+1)x+6y=2.0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (0+1)x+6y=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ x+6y=0 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1-3y (2) & \\ x+6y=0 (3)& \end{matrix}\right.$

Thế phương trình (2) vào phương trình (3) ta được:

$1-3y+6y=0$

$\Leftrightarrow 1+3y=0$

$\Leftrightarrow 3y=-1$

$\Leftrightarrow y=\frac{-1}{3}$

Thế $y=\frac{-1}{3}$

vào phương trình (2) ta được:

$x=1-3.\frac{-1}{3}$

$\Leftrightarrow x=1-(-1)$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là $\left ( 2;\frac{-1}{3} \right )$

c. Với a = 1 thì phương trình (1) trở thành:

$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (1^{2}+1)x+6y=2.1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (1+1)x+6y=2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ 2x+6y=2 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ x+3y=1 & \end{matrix}\right.$

Ta có: $a=a'=1; b=b'=3; c=c'$

Vậy hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong hệ trùng nhau.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.