Bài tập 3: Trang 114 toán VNEN 9 tập 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB và điểm C di động trên cung AB. Lấy AC làm cạnh, vẽ tam giác đều ACD sao cho D và B là hai điểm khác phía so với đường thẳng AC. Gọi E là giao điểm của CD với cung AB. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng: Khi điểm C di động trên cung AB thì điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AE.

Hướng dẫn: Xem hình 101

Theo giả thiết ta có $\widehat{ACD} = 60^\circ$ nên $\widehat{ACE} = 120^\circ$ mà ACEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{ABE} = 60^\circ$.

Do A, B cố định, $\widehat{ABE} = 60^\circ$ (không đổi) nên điểm E cố định.

Theo giả thiết ACD là tam giác đều và M là trung điểm của đoạn DC nên $\widehat{AMC} = 90^\circ$, hay $\widehat{90^\circ}$.

Như vậy, do điểm M di động nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AE $...........$