a) Vì E là trung điểm AB nên AE = EB = $\frac{1}{2}$AB

Mà AB = 2AD hay $\frac{1}{2}$AB = AD $\Rightarrow$ AE = AD. (1)

Xét hình chữ nhật ABCD, có: E là trung điểm AB và F là trung điểm CD

$\Rightarrow$ EF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD $\Rightarrow$ EF // AD

Lại có AD $\perp$ DC và AD $\perp$ AB $\Rightarrow$ EF $\perp$ DF và EF $\perp$ AE

$\Rightarrow$ AEFD là hình chữ nhật. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AEFD là hình vuông.

b) Tứ giác DEBF có EB // DF và EB = DF nên AEBF là hình bình hành $\Rightarrow$ DE // BF hay ME // NF.

Chứng minh tương tự, ta có: AF // EC hay MF // EN.

$\Rightarrow$ MENF là hình bình hành. (3)

Theo câu a, ADFE là hình vuông nên ME = MF và ME $\perp$ MF. (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ EMFN là hình vuông.