a)

Xét $\Delta$DMQ, có: M là trung điểm DE và Q là trung điểm DH

$\Rightarrow$ MQ là đường trung bình của $\Delta$DMQ $\Rightarrow$ QM = $\frac{1}{2}$EH. (1)

Xét $\Delta$HEG, có: N là trung điểm EG và P là trung điểm HG

$\Rightarrow$ PN là đường trung bình của $\Delta$HEG $\Rightarrow$ PN = $\frac{1}{2}$EH. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ QM = PN = $\frac{1}{2}$EH. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: QP = MN = $\frac{1}{2}$DG. (**)

Mà DEGH là hình chữ nhật nên HE = DG.(***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ MNPQ là hình thoi (đpcm).

b)

Xét $\Delta$QPR, có: A là trung điểm PQ và B là trung điểm QR

$\Rightarrow$ AB là đường trung bình của $\Delta$QPR $\Rightarrow$ AB // PR. (1)

Xét $\Delta$PSR, có: D là trung điểm PS và C là trung điểm SR

$\Rightarrow$ CD là đường trung bình của $\Delta$PSR $\Rightarrow$ CD // PR. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ AB // CD // PR. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: AD // BC // QS. (**)

Mà PQRS là hình thoi nên QS $\perp$ PR (***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ ABCD là hình chữ nhật (đpcm).

c) 

Xét $\Delta$ADB, có: Z là trung điểm AD và U là trung điểm AB

$\Rightarrow$ ZU là đường trung bình của $\Delta$ABD $\Rightarrow$ ZU // BD và  ZU = $\frac{1}{2}$BD. (1)

Xét $\Delta$BCD, có: V là trung điểm BC và T là trung điểm DC

$\Rightarrow$ VT là đường trung bình của $\Delta$BCD $\Rightarrow$ TV // BD và TV = $\frac{1}{2}$BD. (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ ZU // BD // TV và TV = ZU = $\frac{1}{2}$BD. (*)

Chứng minh tương tự, ta có: UV // ZT // AC và UV = ZT = $\frac{1}{2}$AC. (**)

Mà ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD và AC = BD (***)

Từ (*), (**) và (***) $\Rightarrow$ UVTZ là hình vuông (đpcm).