Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.

Xét $\Delta$MAB và $\Delta$MNC, có:

• BM = CM
• MA = MN
• $\widehat{AMB}$ = $\widehat{NMC}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow$ $\Delta$MAB = $\Delta$MNC (c.g.c)

$\Rightarrow$ NC = AB và $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$

a) Do $\widehat{MBA}$ = $\widehat{MCN}$ nên AB // NC  $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$.

Nếu $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ thì $\widehat{ACN}$ = 90$^{0}$.

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:

• AC chung
• AB = NC (cmt)
• $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$ (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.g.c)

$\Rightarrow$ AN = BC $\Rightarrow$ AM = 12BC (đpcm).

b) Có: AM = 12AN. Nếu AM = 12BC thì AN = BC.

Xét $\Delta$ABC và $\Delta$CNA, có:

• AC chung
• AB = NC (cmt)
• AN = BC (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$ABC = $\Delta$CNA (c.c.c) $\Rightarrow$ $\widehat{BAC}$ = $\widehat{ACN}$

Mà $\widehat{BAC}$ + $\widehat{ACN}$ = 180$^{0}$ nên $\widehat{BAC}$ = 90$^{0}$ (đpcm).