a) Vì M đối xứng với H qua AB $\Rightarrow$ AH = AM

Và N đối xứng với N qua AC $\Rightarrow$ AH = AN

Do đó: AM = AN (4) (= AH).

b) Xét $\Delta$ABM và $\Delta$ABH, có:

AM = AH (H đối xứng với M qua AB)

BM = BH (H đối xứng với M qua AB)

AB chung

$\Rightarrow$ $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (c−c−c).

$\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ = $\widehat{BAH}$ (1)

Tương tự, ta có: $\Delta$ACN = $\Delta$ACH $\Rightarrow$ $\widehat{NAC}$ = $\widehat{CAH}$ (2)

Mà $\widehat{BAH}$ + $\widehat{CAH}$ = 90$^{0}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\widehat{MAB}$ + $\widehat{BAH}$ + $\widehat{NAC}$ + $\widehat{CAH}$ = 2$\widehat{BAH}$ +2$\widehat{HAC}$ = 2.90$^{0}$ = 180$^{0}$

$\Rightarrow$ M, N, A thẳng hàng. (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow$ M đối xứng với N qua A.

c) Xét $\Delta$MHN, có: AH = MA = NA (cmt)

$\Rightarrow$ AH = $\frac{MA + NA}{2}$ = $\frac{MN}{2}$ $\Rightarrow$ $\Delta$MHN vuông tại H.

d) Do $\Delta$ACH = $\Delta$ACN (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AHC}$ = $\widehat{ANC}$ = 90$^{0}$  $\Rightarrow$ MN $\perp$ CN.

e) Do $\Delta$ABM = $\Delta$ABH (cmt) $\Rightarrow$ $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AHB}$ = 90$^{0}$.

Xét tứ giác BMNC, có: $\widehat{NMB}$ = $\widehat{MNC}$ = 90$^{0}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow$ BMNC là hình thang

Mà hai góc đó cùng bằng 90$^{0}$

$\Rightarrow$ BMNC là hình thang vuông.