a) E là trung điểm AB (gt) và H là trung điểm AD (gt) $\Rightarrow$ EH là đường trung bình của tam giác ABD

$\Rightarrow$ EH // BD, EH = $\frac{BD}{2}$ (1)

Chứng minh tương tự, ta có: FG là đường trung bình của tam giác BDC

$\Rightarrow$ FG // BD, FG = $\frac{BD}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ HE // FG, HE = FG

$\Rightarrow$ EFGH là hình bình hành.

Lại  có: H là trung điểm AD (gt); G là trung điểm DC (gt) $\Rightarrow$ HG là đường trung bình của tam giác ADC

$\Rightarrow$ HG // AC.

Mà AC vuông góc với BD (gt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với BD.

Lại có: BD // HE (cmt) $\Rightarrow$ HG vuông góc với HE.

Hình bình hành EFGH có $\widehat{EHG}$ =90$^{0}$ (cmt)

$\Rightarrow$ EFGH là hình chữ nhật.

b) Nối E với G, F với H.

Ta có: L là trung điểm EH (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ IL là đường trung bình của tam giác EFH

$\Rightarrow$ IL // HF, IM = $\frac{HF}{2}$ (3)

Chứng minh tương tự, ta được: JK là đường trung bình của tam giác HGF

$\Rightarrow$ JK // HF , JK = $\frac{HF}{2}$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow$ IL // JK, IL = JK $\Rightarrow$ ILKJ là hình bình hành.

Lại có: EFGH là hình chữ nhật $\Rightarrow$ HG = EF.

Và: K là trung điểm HG (gt); I là trung điểm EF (gt) $\Rightarrow$ HK = EI

Xét tam giác LHK vuông tại H và tam giác LEI vuông tại E, có:

LH = LE (L là trung điểm HE )

HK = EI (cmt)

$\Rightarrow$ $\Delta$LHK = $\Delta$LEI $\Rightarrow$ KL = LI.

Xét ILKJ là hình bình hành có: KL = LI (cmt) $\Rightarrow$ ILKJ là hình thoi.

c) Q là trung điểm IL (gt) và M là trung điểm IJ (gt) $\Rightarrow$ QM là đường trung bình của tam giác ILJ

$\Rightarrow$ QM // LJ, QM = $\frac{LJ}{2}$ (5)

Chứng minh tương tự, ta có: PN là đường trung bình của tam giác LJK

$\Rightarrow$ PN // LJ, PN = $\frac{LJ}{2}$ (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow$ QM = PN, QM // PN.

$\Rightarrow$ MNPQ là hình bình hành.

Lại có: Q là trung điểm LI (gt); P là trung điểm LK (gt) $\Rightarrow$ QP là đường trung bình của tam giác LIK

$\Rightarrow$ QP // IK.

Mà IK vuông góc với LJ (tính chất hình thoi) $\Rightarrow$ QP vuông góc với LJ.

Lại có: LJ // PN (cmt) $\Rightarrow$ QP vuông góc PN.

Hình bình hành MNPQ có $\widehat{QPN}$ =90$^{0}$ (cmt)

$\Rightarrow$ MNPQ là hình chữ nhật.

d) Khi AC vuông góc với BD và AC = BD thì các tứ giác EFGH, IJKL, MNPQ là các hình vuông.