Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = - \frac{1}{x^{2}}\).

a) Tại điểm \((  \frac{1}{2} ; 2)\)

\(y'  \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-4\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \((  \frac{1}{2} ; 2)\)là

\(y - 2 = -4(x -  \frac{1}{2})\)

Hay \(y = -4x + 4\).

b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\)

\(y' (-1) = -1\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-1\).

Ta lại có \(y(-1) = -1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là

\(y - (-1) = -[x - (-1)]\)

Hay \(y = -x - 2\).

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\)

Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm.

Ta có \(y' (x_0) = -  \frac{1}{4} \Leftrightarrow -  \frac{1}{x_{0}^{2}} = -  \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}=  ±2\).

• Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) =  \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là

\(y -  \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}(x - 2)\)

Hay \(y =  -\frac{1}{4}x + 1\).

• Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là

\(y -  \left ( -\frac{1}{2} \right ) = - \frac{1}{4}[x - (-2)]\)

Hay \(y = -  \frac{1}{4}x -1\)