a. Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\).

Ta có: \(∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) - (1^2+ 1)= 3∆x + (∆x)^2\)

\(\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3∆x + (∆x)^2}{∆x}=3 + ∆x\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\)

Vậy \(f'(1) = 3\).

b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\)

Ta có: \(∆y = f(2 + ∆x) - f(2)\)

\(=  \frac{1}{2+\Delta x}  -  \frac{1}{2} =\frac{2-2-\Delta x}{2(2+\Delta x)}= -  \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-  \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}}{\Delta x}=- \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) =  - {1 \over 4}\)

Vậy \(f'(2) = - \frac{1}{4}\).

c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).

Ta có: \(∆y = f(∆x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) =\frac{∆x+1+∆x-1}{∆x-1}=  \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\);

\( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{2\Delta x}{\Delta x-1}}{∆x}=\frac{2}{\Delta x-1}\)

\( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\)  \( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\).

Vậy \(f'(0) = -2\).