a) Đặt \(f(x) = \frac{x +1}{3x - 2}\)là hàm số xác định trên \(\mathbb R\backslash \left\{ {{2 \over 3}} \right\}\)

Ta có \(x = 4 \in \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\)

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n ∈ \left( {{2 \over 3}; + \infty } \right)\); \(x_n≠ 4\) và \(x_n→ 4\) khi \(n \to  + \infty \).

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{x_{n} +1}{3x_{n} - 2} \)

\(=\frac{lim \,(x_{n}+1)}{lim \,(3x_{n}-2)}\)

\(=\frac{lim \,x_{n}+lim \,1}{lim \,3x_{n}-lim \,2}\)

\(= \frac{4 + 1}{3. 4 - 2} = \frac{5}{10}=\frac{1}{2}\).

Vậy theo định nghĩa ta có:\(\underset{x\rightarrow 4}{\lim}\) \(\frac{x +1}{3x - 2}\) = \(\frac{1}{2}\).

b) Hàm số \(f(x)\) = \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}\) xác định trên \(\mathbb R\).

Giả sử \((x_n)\) là dãy số bất kì và \(x_n→ +∞\) khi \(n \to  + \infty \)

Ta có \(\lim f(x_n) = \lim \frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}\)

\(= \lim \frac{\frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+\frac{3}{x^{2}_{n}}} \)

\(=\frac{lim \,\left ( \frac{2}{x^{2}_{n}}-5 \right )}{lim \,\left ( 1+\frac{3}{x^{2}_{n}} \right )} \)

\(=-\frac{5}{1}= -5\).

Vậy theo định nghĩa ta có \(\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\) \(\frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5\).