Nội dung bài học gồm 2 phần:
- Lý thuyết cần biết
- Hướng dẫn giải bài tập SGK
A. Lý thuyết cần biết
I. Ôn tập, nhắc lại kiến thức
1. Khái niệm bất đẳng thức
Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất đẳng thức.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương
Nếu mệnh đề $"a < b\Rightarrow c<d"$đúng thì ta nói bất đẳng thức \(c<d\)là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức \(a<b\)
và cũng viết là $"a < b\Rightarrow c<d"$
3. Tính chất của bất đẳng thức
Tính chất | Tên gọi | |
Điều kiện | Nội dung | |
$a<b\Leftrightarrow a+c<b+c$ | Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số | |
$c>0$ | $a<b\Leftrightarrow ac<bc$ | Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số |
$c<0$ | $a<b\Leftrightarrow ac>bc$ | |
$a<b$và $c<d\Rightarrow a+c<b+d$ | Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều | |
$a>0,c>0$ | $a<b$và $c<d\Rightarrow ac<bd$ | Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều |
$n\in \mathbb{N}^{*}$ | $a<b\Leftrightarrow a^{2n+1}<b^{2n+1}$ | Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa |
$n\in \mathbb{N}^{*}$và $a>0$ | $a<b\Leftrightarrow a^{2n}<b^{2n}$ | |
$a>0$ | $a<b\Leftrightarrow \sqrt a<\sqrt b$ | Khai căn hai vế của một bất đẳng thức |
$a<b\Leftrightarrow \sqrt[3] a<\sqrt[3] b$ |
II. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (bất đẳng thức Cô - si)
1. Bất đẳng thức Cô - si
ĐỊNH LÍ
Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng.
\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}, \forall a, b \geq 0.\) (1)
Đẳng thức \(\sqrt{ab} = \frac{a+b}{2}\)xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.
2. Các hệ quả
HỆ QUẢ 1
Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2.
$a+\frac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$
HỆ QUẢ 2
Nếu $x, y$ cùng dương và có tổng không đổi thì tích $xy$lớn nhất khi và chỉ khi $x=y$
III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Điều kiện | Nội dung |
$|x|\geq 0, |x| geq x, |x| \geq -x$ | |
$a>0$ | $|x| \leq a\Leftrightarrow -a\leq x \leq a$ |
$|x| \geq a\Leftrightarrow x \leq -a$hoặc $x \geq a$ | |
$|a|-|b|\leq |a+b| \leq |a|+|b|$ |
Bình luận