a) Từ A kẻ AE//BD

Tam giác ABE có $\widehat{ABE}$ = $60^{\circ}$, $\widehat{EAB}$ = $60^{\circ}$ (so le trong)

suy ra tam giác ABE đều $\Rightarrow $ AB = AE = BE = 6cm

Vì BD//AE nên $\frac{BD}{AE}$ = $\frac{CB}{CE}$ = $\frac{12}{12 + 6}$ = $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow $ BD = $\frac{2}{3}$.AE = $\frac{2}{3}$.6 = 4cm.

b) Ta có: AB = 6cm, BM = CM = $\frac{1}{2}$BC = 6cm

$\Rightarrow $ AB = BM = 6cm $\Rightarrow $ $\Delta $ABM cân tại B $\Rightarrow $  $\widehat{BAM}$ = $\widehat{BMA}$ = $30^{\circ}$

Ta có: $\widehat{BAM}$ + $\widehat{ABD}$ = $30^{\circ}$ + $60^{\circ}$ = $90^{\circ}$n hay AM $\perp $ BD.

c) Gọi giao điểm giữa AM và BD là H.

Ta có $\Delta $ABM cân tại B nên AM = 2AH

Xét tam giác vuông ABH cosBAH = $\frac{AH}{AB}$ $\Rightarrow $ AH = AB.cosBAH = 6.cos$30^{\circ}$ = 3$\sqrt{3}$ cm $\Rightarrow $ AM = 6$\sqrt{3}$ cm

Ta có: BH = $\sqrt{AB^{2} - AH^{2}}$ = 3cm

S$\Delta $ABM = $\frac{1}{2}$.BH.AM = $\frac{1}{2}$.3.6$\sqrt{3}$ = 9$\sqrt{3}$ $cm^{2}$.