B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ ; b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) ;
c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ ; d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$.
Trả lời:
a) $\sqrt{\frac{3}{4}}$ + $\sqrt{\frac{1}{3}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\sqrt{\frac{9}{12}}$ + $\sqrt{\frac{4}{12}}$ + $\sqrt{\frac{1}{12}}$ = $\frac{3}{\sqrt{12}}$ + $\frac{2}{\sqrt{12}}$ + $\frac{1}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6}{\sqrt{12}}$ = $\frac{6\sqrt{12}}{12}$.
b) $\frac{10}{9}$($\sqrt{0,8}$ + $\sqrt{1,25}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{4}{5}}$ + $\sqrt{\frac{5}{4}}$) = $\frac{10}{9}$($\sqrt{\frac{16}{20}}$ + $\sqrt{\frac{25}{20}}$) = $\frac{10}{9}$($\frac{4}{\sqrt{20}}$+ $\frac{5}{\sqrt{20}}$) = $\frac{10}{9}$.$\frac{9}{\sqrt{20}}$ = $\frac{10}{\sqrt{20}}$ = $\sqrt{5}$
c) 4$\sqrt{\frac{2}{9}}$ + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ = 4$\sqrt{\frac{4}{18}}$ + $\sqrt{\frac{36}{18}}$ + $\sqrt{\frac{1}{18}}$ = $\frac{8}{\sqrt{18}}$ + $\frac{6}{\sqrt{18}}$ + $\frac{1}{\sqrt{18}}$ = $\frac{15}{\sqrt{18}}$ = $\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
d) $\frac{1}{\sqrt{5} - 1}$ - $\frac{1}{\sqrt{5} + 1}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ - $\frac{\sqrt{5} - 1}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)}$ = $\frac{\sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)}$ = $\frac{2}{5 - 1}$ = $\frac{1}{2}$.
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ với a > 0 ;
b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ ;
c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ với b $\geq $ 0, a $\geq $ 0 ;
d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ với a > 0, b > 0.
Trả lời:
a) 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{a}{4}}$ - a$\sqrt{\frac{9}{a}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{2}{3}$$\frac{\sqrt{a}}{2}$ - a$\sqrt{\frac{9a}{a^{2}}}$ + $\sqrt{7}$ = 6$\sqrt{a}$ + $\frac{\sqrt{a}}{3}$ - 3$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$ = $\frac{10}{3}$$\sqrt{a}$ + $\sqrt{7}$
b) 11$\sqrt{5a}$ - $\sqrt{125a}$ + $\sqrt{20a}$ - 4$\sqrt{45a}$ + 9$\sqrt{a}$ = 11$\sqrt{5a}$ - 5$\sqrt{5a}$ + 2$\sqrt{5a}$ - 12$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = - 4$\sqrt{5a}$ + 9$\sqrt{a}$ = (9 - 4$\sqrt{5}$)$\sqrt{a}$.
c) 5a$\sqrt{25ab^{3}}$ - $\sqrt{3}$$\sqrt{12a^{3}b^{3}}$ + 9ab$\sqrt{9ab}$ - 5b$\sqrt{81a^{3}b}$ = 25ab$\sqrt{ab}$ - 6ab$\sqrt{ab}$ + 27ab$\sqrt{ab}$ - 45ab$\sqrt{ab}$ = ab$\sqrt{ab}$.
d) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{b}{a}$ = $\sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{a}{b}$$\frac{ab}{a^{2}}$ = $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ + $\sqrt{ab}$ - $\frac{\sqrt{ab}}{b}$ = $\sqrt{ab}$.
Ví dụ 3: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$ = - 2
b) $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$ = $\left | a \right |$ với a + b > 0 và b $\neq $ 0 ;
c) $\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$ = a - b với a > 0, b > 0, a $\neq $ b ;
d) $\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$ với x > 0, y > 0, x $\neq $ y.
Trả lời:
a) Biến đổi vế trái ta có:
$\left (\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{1 - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{1 - \sqrt{3}} \right )$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$
= $\left \lfloor \frac{\sqrt{7}(1 - \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2}} + - \frac{\sqrt{5}(1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3}} \right \rfloor$ : $\frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$
= - ($\sqrt{7}$ + $\sqrt{5}$)($\sqrt{7}$ - $\sqrt{5}$) = - (7 - 5) = - 2.
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Biến đổi vế trái ta có:
$\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2} + 2ab + b^{2}}}$
= $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{(a + b)^{2}}}$ = $\frac{a + b}{b^{2}}$.$\frac{\left | a \right |.b^{2}}{a + b}$ = $\left | a \right |$
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Biến đổi vế trái ta có:
$\frac{a\sqrt{b} + b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$ : $\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}$
= $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$.($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$)
= ($\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$).($\sqrt{a}$ - $\sqrt{b}$) = a - b
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Biến đổi vế trái ta có:
$\left ( \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} - \frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \right )$ : $\frac{\sqrt{xy}}{x - y}$
= $\left \lfloor \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} - \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} - \sqrt{y})} \right \rfloor$ . $\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$
= $\frac{ x + 2\sqrt{xy} + y - x + 2\sqrt{xy} - y}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$
= $\frac{4\sqrt{xy}}{x - y}$.$\frac{x - y}{\sqrt{xy}}$ = 4
Sau khi biến đổi, ta thấy vế trái bằng vế phải. Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bình luận