a)

i) Ta có tứ giác ADHE là hình vuông nên DE = AH

Xét tam giác vuông ABC, ta có: $AH^{2}$ = BH.CH = 4.9 = 36 $\Rightarrow $ AH = 6cm $\Rightarrow $ DE = 6cm

tanHAC = $\frac{HC}{AH}$ = $\frac{9}{6}$ = $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow $ $\widehat{HAC}$ = $56^{\circ}$

ii) Ta có: AB = $\sqrt{AH^{2} + BH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 4^{2}}$ = 2$\sqrt{13}$ cm

               AC = $\sqrt{AH^{2} + CH^{2}}$ = $\sqrt{6^{2} + 9^{2}}$ = 3$\sqrt{13}$ cm

P = $\frac{2sinB + 3cosC}{tanB - 3cotC}$ = P = $\frac{2\frac{AH}{AB} + 3\frac{CH}{AC}}{\frac{AH}{BH} - 3\frac{CH}{AH}}$ = - $\frac{5\sqrt{13}}{13}$.

iii) Ta có: $\widehat{MDH}$ + $\widehat{HDE}$ = $90^{\circ}$ (do DM $\perp $ DE)

               $\widehat{MHD}$ + $\widehat{DHA}$ = $90^{\circ}$ (do AH $\perp $ BC)

Mặt khác tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên $\widehat{HDE}$ = $\widehat{DHA}$ $\Rightarrow $ $\widehat{MDH}$ = $\widehat{MHD}$ $\Rightarrow $ tam giác MDH cân tại M suy ra DM = MH

Tương tự ta được BM = DM

Suy ra DM = MH = BM hay M là trung điểm của BH

Tương tự ta chứng minh được N là trung điểm của CH.

SDENM = $\frac{DM + EN}{2}$.DE = $\frac{2 + 4,5}{2}$.6 = 19,5 $cm^{2}$.

b) Ta có: $\widehat{ADE}$ = $\widehat{AHE}$ = $\widehat{BHD}$ (cùng phụ với góc $\widehat{DHA}$ = $\widehat{BCA}$ (đồng vị)

Xét tam giác ADE và tam giác ACB có:

Góc A chung, $\widehat{ADE}$  = $\widehat{BCA}$

Suy ta tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB

$\Rightarrow $ $\frac{AD}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$ suy ra AD.AB = AC.AE (đpcm).

c) Ta có: $\widehat{ADE}$ + $\widehat{DAI}$ = $90^{\circ}$ 

               $\widehat{DAI}$ + $\widehat{IAE}$ = $90^{\circ}$

$\Rightarrow $ $\widehat{IAE}$ = $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow $ $\Delta $IAC cân tại I $\Rightarrow $ IA = IC

Tương tự ta được IA = IB

$\Rightarrow $ IA = IB = IC hay I là trung điểm của BC.

d) SADHE = AD.AE

S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC 

Để S$\Delta $ABC = 2SADHE thì $\frac{1}{2}$.AB.AC = 2.AD.AE $\Leftrightarrow $ AB.AC = 4AD.AE 

Theo câu b AD.AB = AC.AE $\Rightarrow $ AB = $\frac{AC.AE}{AD}$

$\Rightarrow $ $\frac{AC.AE}{AD}$.AC = 4AD.AE $\Rightarrow $ $AC^{2}$ = 4$AD^{2}$ $\Leftrightarrow $ AC = 2AD

Vậy AC = 2AD thì diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tứ giác ADHE..