Ta có:

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x (cm) (x > 0).

Độ dài cạnh phía trên của hình chữ nhật bằng đường kính của nửa hình tròn hay AB = x (cm).

Xét tam giác vuông ABD

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$BD^{2} = AD^{2} + AB^{2}$

⇔ $AD^{2} = BD^{2}  – AB^{2}$

=> $AD=\sqrt{BD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{66^{2}-x^{2}}=\sqrt{4356-x^{2}}$

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là AD = $\sqrt{4356-x^{2}}$

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{1}{2}\pi (\frac{AB}{2})^{2}=\frac{1}{2}\times  3.14\times  (\frac{x}{2})^{2}=\frac{3.14x^{2}}{8}$

Diện tích hình chữ nhật là $x\sqrt{4356-x^{2}}$. Theo giả thiết ta có:

$\frac{3.14x^{2}}{8}=0.3x\sqrt{4356-x^{2}}$

=> $157x=120\sqrt{4356-x^{2}}$ (do x > 0).

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

$24 649x^{2} = 14 400(4 356 – x^{2})$

$⇔ 24 649x^{2} = 62 726 400 – 14 400x^{2}$

$⇔ 39 049x^{2} = 62 726 400$

⇔ x ≈ ± 40,08

Do x > 0 => x = 40,08

Độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là 40,08 cm, độ dài cạnh còn lại là: $\sqrt{4356-40.08^{2}}$ ≈52,44 (cm)

Vậy kích thước của hình chữ nhật khoảng 40,08 cm × 52,44 cm.