Ta có:

a) 

Xét tam thức bậc hai $f(x) = 3x^{2} – 36x + 108$  có a = 3 > 0

Phương trình bậc hai $3x^{2} – 36x + 108 = 0$ có $\Delta = b^{2} – 4ac = (–36)^{2} – 4\times 3\times 108 = 0$

=> phương trình có nghiệm kép x = 6.

=> $f(x) = 3x^{2} – 36x + 108  > 0$ với x $\in $ R\{6}

Hay tập nghiệm của bất phương trình $3x^{2} – 36x + 108  > 0$ là S = R\{6}.

b) 

Xét tam thức bậc hai $f(x) = –x^{2} + 2x – 2$ có a = –1 < 0

Phương trình bậc hai $–x^{2} + 2x – 2 = 0$ có $\Delta  = b^{2} – 4ac = 2^{2} – 4\times (–1)\times (–2) = –4 < 0$

=> $f(x) = –x^{2} + 2x – 2 < 0$ với mọi $x \in R$

Hay tập nghiệm của bất phương trình $–x^{2} + 2x – 2 \geq  0$ là $ = ∅

c) 

$x^{4} – 3x^{2} + 2 \leq  0$

Đặt $t = x^{2} (t \geq  0)$, khi đó, bất phương trình trở thành:

$t^{2} – 3t + 2 ≤ 0$

Xét tam thức bậc hai $f(t) = t^{2} – 3t + 2$ có a = 1 > 0

Phương trình bậc hai $t^{2} – 3t + 2 = 0$ có $\Delta  = b^{2} – 4ac = (–3)2 – 4.1.2 = 1 > 0$

=> phương trình có hai nghiệm phân biệt là: t1 = 2; t2 = 1.

=> $f(t) = t^{2} – 3t + 2 < 0$ với $t \in  (1; 2) => t^{2} – 3t + 2 \leq  0$ với $t \in  [1; 2]$ (thỏa mãn điều kiện $t \geq  0$).

Ta có $t \in  [1; 2] => 1 \leq  t \leq  2 => 1 \leq  x^{2} \leq  2$

$=>\left\{\begin{matrix}x^{2}\geq 1\\ x^{2}\leq 2\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x\geq 1 hoặc x\leq -1 \\ -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}\end{matrix}\right. <=> 1\leq x\leq \sqrt{2} hoặc -\sqrt{2}\leq x\leq -1$

Hay tập nghiệm của bất phương trình $x^{4} – 3x^{2} + 2 \leq  0$ là $S = [−\sqrt{2};−1]\cup [1;\sqrt{2}]$

d) 

Xét phương trình bậc hai $x^{2} – x + 1 = 0$ có a = 1 > 0 và $\Delta 1 = (–1)^{2} – 4\times1\times1 = –3 < 0$ do đó, $x^{2} – x + 1 > 0$ với mọi số thực x.

Xét phương trình bậc hai $2x^{2} + x + 2 = 0$ có a = 2 > 0 và $\Delta 2 = 1^{2} – 4\times2\times2 = –15 < 0$ do đó,  $2x^{2} + x + 2 > 0$ với mọi số thực x

=> tập xác định của bất phương trình $\frac{1}{x^{2}-x+1} \leq \frac{1}{2x^{2}+x+2}$ là D = R.

=> $\frac{1}{x^{2}-x+1} \leq \frac{1}{2x^{2}+x+2}$

<=> $ 2x^{2} + x + 2 \leq  x^{2} – x + 1$

<=> $ x^{2} + 2x + 1 \leq  0$

<=> $ (x + 1)^{2} \leq  0$

Vì $(x + 1)^{2} \geq  0$ với mọi số thực x nên ta có:

$(x + 1)^{2} \leq  0$

<=> $(x + 1)^{2} = 0$

<=> x + 1 = 0

⇔ x = –1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{x^{2}-x+1} \leq \frac{1}{2x^{2}+x+2}$ là S = {–1}.