Ta có:

a) 

Xét phương trình $–x^{2} + (m + 1)x – 2m + 1 = 0$ có:

a = –1 < 0

$∆ = (m + 1)^{2} – 4.(–1)\times (–2m + 1) = m^{2} + 2m + 1 – 8m + 4 = m^{2} – 6m + 5$

Để $–x^{2} + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ ≤ 0$

⇔ $m^{2} – 6m + 5 ≤ 0$

Xét phương trình $m^{2} – 6m + 5 = 0$ có a = 1 > 0 và $Δm = (–6)^{2} – 4\times 1\times 5 = 16 > 0$

=> phương trình $m^{2} – 6m + 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:

m1 = 1; m2 = 5

=> $m^{2} – 6m + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ m ≤ 5$

Vậy khi 1 ≤ m ≤ 5 thì $–x^{2} + (m + 1)x – 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.$

b) 

$x^{2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ$

Xét phương trình$ x^{2} – (2m + 1)x + m + 2 = 0$ có:

a = 1 > 0

$∆ = [–(2m + 1)]^{2} – 4\times 1\times (m + 2) = 4m^{2} + 4m + 1 – 4m – 8 = 4m^{2} – 7$

Để $x^{2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ Δ < 0$

⇔ $4m^{2} – 7 < 0$

⇔ $m^{2}<\frac{7}{4}$

⇔ $-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$

Vậy khi $-\frac{\sqrt{7}}{2}<m<\frac{\sqrt{7}}{2}$ thì $x^{2} – (2m + 1)x + m + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ.$