Ta có:

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0.

Coi $f(x) = b^{2}x^{2} – (b^{2} + c^{2} – a^{2})x + c^{2}$  là một tam thức bậc hai ẩn x dạng $f(x) = Ax^{2} + Bx + C.$

Xét phương trình bậc hai $b^{2}x^{2} – (b^{2} + c^{2} – a^{2})x + c^{2}  = 0$ có:

$A = b^{2} > 0$ (vì b là độ dài cạnh của tam giác)

$∆ = B^{2} – 4AC = [– (b^{2} + c^{2} – a^{2})]^{2} – 4.b^{2}.c^{2}$

$= (b^{2} + c^{2} – a^{2})^{2} – (2bc)^{2}$  

$= (b^{2} + c^{2} – a^{2} – 2bc)(b^{2} + c^{2} – a^{2}  + 2bc)$

$= [(b – c)^{2} – a^{2}][(b + c)^{2} – a^{2}]$

= (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)

Vì a, b, c là ba cạnh của tam giác nên ta có:

a + b – c > 0

b + c – a > 0

b + c + a > 0

b – c – a = b – (c + a) < 0

=> ∆ < 0.

=> $b^{2}x^{2} – (b^{2} + c^{2} – a^{2})x + c^{2} > 0, ∀x ∈ ℝ $(điều cần phải chứng minh)