Ta có:

$\sqrt{2x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}+mx+m-1}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

$2x^{2} + x + 1 = x^{2}  + mx + m – 1$

$⇔ x^{2} + (1 – m)x + 2 – m = 0   $  (2)

Xét tam thức bậc hai $f(x) = 2x^{2} + x + 1$ có: $a = 2 > 0, ∆f = 1^{2} – 4.2.1 = –7 < 0$

=> $ f(x) = 2x^{2} + x + 1  > 0$ với mọi số thực x nên $x^{2}  + mx + m – 1  > 0 $với mọi số thực x, do đó,  $\sqrt{2x^{2}+x+1},\sqrt{x^{2}+mx+m-1}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x.

=> (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm.

Xét phương trình bậc hai (2) ta có:

$∆ = (1 – m)^{2} – 4\times 1\times (2 – m) = 1 – 2m + m^{2} – 8 + 4m = m^{2} + 2m – 7$

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ chi ∆ ≥ 0

$⇔ m^{2} + 2m – 7 ≥ 0$

Xét phương trình bậc hai ẩn m là: $m^{2} + 2m – 7 = 0$:

a = 1 > 0

$∆m = 2^{2} – 4.1.(–7) = 32 > 0$

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $m1=-1+2\sqrt{2};m2=-1-2\sqrt{2}$

=> $m^{2} + 2m – 7 ≥ 0 ⟺ m \geq -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m \leq -1-2\sqrt{2}$

Vậy khi $m\geq  -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m \leq -1-2\sqrt{2}$  thì phương trình $\sqrt{2x^{2}+x+1}=\sqrt{x^{2}+mx+m-1}$ có nghiệm.