a) Xét $\bigtriangleup ABM$ và $\bigtriangleup ACN$ có:

AB = AC (giả thiết);

$\widehat{ABM} = \widehat{ACN}$ (hai góc kề bù với hai góc bằng nhau);

BM = CN (giả thiết);

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABM = \bigtriangleup ACN$ (c.g.c)

$\Rightarrow $ AM = AN (hai cạnh tương ứng).

b) Xét $\bigtriangleup HBM$ và $\bigtriangleup KCN$ vuông tại H và K có:

BM = CN (giả thiết);

$\widehat{BMH} = \widehat{CNK}$ (hai góc tương ứng);

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup HBM = \bigtriangleup KCN$ (cạnh huyền – góc nhọn);

$\Rightarrow $ HM = KN (hai cạnh tương ứng);

c) Xét $\bigtriangleup HBA$ và $\bigtriangleup KCA$ vuông tại H và K có:

AB = AC (giả thiết);

AH = AK (hiệu của những đoạn thẳng bằng nhau);

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup HBA = \bigtriangleup KCA$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông);

d)

$\bigtriangleup HBM = \bigtriangleup KCN$ (câu b) $\Rightarrow $ $\widehat{HBM} = \widehat{KCN}$ (hai góc tương ứng).

Lại có:

+$\widehat{HBM} = \widehat{CBO}$ (hai góc đối đỉnh);

+$\widehat{KCN} = \widehat{BCO}$ (hai góc đối đỉnh);

$\Rightarrow $ $\widehat{CBO} = \widehat{CBO}$.

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup OBC$ là tam giác cân tại O.

e)

Tính số đo các góc của $\bigtriangleup AMN$:

Khi $\widehat{A} = 60^{\circ}$ thì $\bigtriangleup ABC$ là tam giác đều.

$\Rightarrow $ $\widehat{ABM} = \widehat{ACN} = 120^{\circ}$ (các góc kề bù với các góc có số đo là $60^{\circ}$.

Khi BM = CN = BC thì $\bigtriangleup ABM$ và $\bigtriangleup ACN$ là các tam giác cân tại B và C có góc ở đỉnh là $120^\circ$

Mặt khác: Theo câu a) $\bigtriangleup AMN$ cân tại M.

$\Rightarrow $ $\widehat{AMN} = \widehat{ANM} = \frac{180^{\circ} – 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$.

Số đo $\widehat{MAN}$ là: $180^{\circ} – 2\times 30^{\circ} = 120^{\circ}$.

$\bigtriangleup OBC$ là tam giác cân (theo câu d) có $\widehat{CBO} = \widehat{HBM} = 90^{\circ} – 30^{\circ} = 60^{\circ}$ nên là tam giác đều.

f) Gọi I là giao điểm của AO và BC.

Xét $\bigtriangleup AOH$ và $\bigtriangleup AOK$ vuông tại H và K có:

AO chung;

AH = AK (theo phần c: $\bigtriangleup HBA = \bigtriangleup KCA$);

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup AOH = \bigtriangleup AOK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông);

$\Rightarrow $ $\widehat{HAO} = \widehat{KAO}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{IAB} = \widehat{IAC}$.

Xét $\bigtriangleup ABI$ và $\bigtriangleup ACI$ có:

AB = AC (giả thiết);

$\widehat{IAB} = \widehat{IAC}$ (cmt);

AI chung;

$\Rightarrow $ $\bigtriangleup ABI = \bigtriangleup ACI$ (c.g.c)

$\Rightarrow $ $\widehat{AIB} = \widehat{AIC}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{AIB}$ và $\widehat{AIC}$ là hai góc kề bù.

$\Rightarrow $ $\widehat{AIB} = \widehat{AIC} = 180^{\circ} : 2 = 90^{\circ}$.

Hay AO $\perp $ BC.