a) \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM},\) (quy tắc đường trung truyến trong tam giác IAC)

   \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IN}.\) (quy tắc đường trung tuyến trong tam giác IBD)

Cộng từng vế ta được :

\(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN})=\overrightarrow{0}.\)

(do: I là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{0})$

b) Theo quy tắc 3 điểm, ta có:

   \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AI},\)

   \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BI},\)

   \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{CI},\)

   \(\overrightarrow{PI}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DI}.\)

Cộng từng vế ta được:

\(4\overrightarrow {PI}  = \overrightarrow {PA}  + \overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {PC}  + \overrightarrow {PD}  + (\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {CI}  + \overrightarrow {DI} )\)  (1)

Từ a) ta có: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}.\)

=> \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI}+\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{0}.\)

Thay vào (1) có:

\( \Leftrightarrow\)\({PI}=\frac{1}{4} (\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}).\)