Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II được nhà máy lập kế hoạch sản xuất.

Khi đó số lãi nhà máy nhân được là \(P = 3x + 5y\)(nghìn đồng).

Các đại lượng \(x, y\) phải thỏa mãn các điều kiện sau:

\(\left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \\ 2x+2y\leq 10 & \\ 2y\leq 4 & \\ 2x+4y\leq 12 & \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x\geq 0 & \\ y\geq 0 & \\ x+y\leq 5 & \\ y\leq 2 & \\ x+2y\leq 6 & \end{matrix}\right.\)

Ta vẽ 5 đường thắng \(x=0; y=0; x+y-5=0; y=2; x+2y-6=0\)

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là đa giác \(OABCD\)(kể cả biên).

• Biểu thức \(3x+5y\)có giá trị 10 tại đỉnh \(A(0;2)\)
• Biểu thức \(3x+5y\)có giá trị 16 tại đỉnh \(B(2;-2)\)
• Biểu thức \(3x+5y\)có giá trị 17 tại đỉnh \(C(4;1)\)
• Biểu thức \(3x+5y\)có giá trị 15 tại đỉnh \(D(5;0)\)

Biểu thức \(F = 3x + 5y\)đạt giá trị lớn nhất khi \((x; y)\) là tọa độ đỉnh \(C\).

Vậy để có tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 4 đơn vị sản phầm loại I và 1 đơn vị loại II.