a) \(f(x) =4{x^2} - x + 1 < 0\) 

Ta có có hệ số \(a = 4 > 0\)

Biệt thức \(∆ = (-1)^2- 4.4.1 < 0\).

Do đó \(f(x) > 0 ,∀x ∈\mathbb R\). 

Vậy bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm.

b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\)

\(f(x) = - 3{x^2} + x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = - 1 \hfill \cr x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta lại có hệ số \(a=-3 <0\)

Theo quy tắc trong trái dấu với a, ngoài cùng dấu với a, ta có thể xác định được tập nghiệm của bất phương trình.

Nên \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le {4 \over 3}\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S= \left [ -1;\frac{4}{3} \right ]\)

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)  

\( \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{3}{3x^{2}+x-4}< 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}< 0\)

\(f(x)=\frac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x=-8 \hfill \cr x=2 \hfill \cr x=-2 \hfill \cr x=1 \hfill \cr x=-\frac{4}{3} \hfill \cr} \right.\)

Lập bảng xét dấu \(f(x)\)

Tập nghiệm của bất phương trình \(S = (-∞; - 8) ∪ \left(- 2; -\frac{4}{3}\right) ∪ (1; 2)\).

d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\)

\(x^2- x - 6 =0\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Hệ số \(a=1>0\)

Theo quy tắc trong trái dấu với a, ngoài cùng dấu với a, ta có thể xác định được tập nghiệm của bất phương trình.

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S =[- 2; 3]\).