Ta có:

a)

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac > 0$”. Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề Q ⇒ P: “ Nếu phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac > 0$ thì phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt”. Đây là mệnh đề đúng.

Mệnh đề P ⇔ Q: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac > 0$”. Do P ⇒ Q, Q ⇒ P đều là các mệnh đề đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.

Mệnh đề $\overline{P}=>\overline{Q}$

Mệnh đề $\overline{P}$  là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ không có hai nghiệm phân biệt”.

Mệnh đề $\overline{Q}$  là mệnh đề phủ định của mệnh đề Q và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac ≤ 0$”.

Khi đó, ta phát biểu mệnh đề $\overline{P}=>\overline{Q}$ : “Nếu phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ không có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac ≤ 0$”. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.

b)

Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt là điều kiện đủ để phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac > 0.$

Phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có biệt thức $∆ = b^{2} – 4ac > 0$ là điều kiện cần để phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

c) Ta có các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hệ số a và c trái dấu thì luôn có hai nghiệm trái dấu, hiển nhiên đây là hai nghiệm phân biệt. Nhưng các phương trình bậc hai $ax^{2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm này chưa chắc đã trái dấu.

=> Mọi phần tử của tập hợp Y thì đều là phần tử của tập hợp X.

Vậy Y là tập con của tập hợp X và ta viết Y ⊂ X.