a) Ta có: N là trung điểm của AC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó)

$\Rightarrow $ ON đi qua điểm chính giữa cung AC.

Theo đề bài, A và B nằm ở hai phía của đường thẳng ON

$\Rightarrow $ AB > BC $\Rightarrow $ cung nhỏ AB > cung nhỏ BC (mối liên hệ giữa dây và cung).

b) 

Ta có: N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC.

Theo bài 5, $\Rightarrow OP \perp AB;\;OM \perp BC;\;ON \perp AC$

Xét các tam giác BOP và BOM vuông tại P và M:

$OP^2 = BO^2 - BP^2 = R^2 - BP^2$ (Định lý Pytago)

$OM^2 = BO^2 - BM^2 = R^2 - BM^2 $ (Định lý Pytago)

Lại có: $BP = \frac{1}{2} AB$; $BM = \frac{1}{2} BC$

Mà AB > BC $\Rightarrow BP > BM \Rightarrow BP^2 > BM^2 \Rightarrow - BP^2 < - BM^2$

$\Rightarrow OP^2 < OM^2$ hay OP < OM (đpcm)