Gọi \(SN\) là một đường xiên khác.

a)    Xét hai tam giác vuông \(SHM\) và \(SHN\) có \(SH\) cạnh chung.

• Nếu \(SM = SN \Rightarrow ∆SHM = ∆SHN (c-g-c)\)

        \(\Rightarrow  HM = HN\).(2 cạnh tương ứng)

• Ngược lại nếu \(HM = HN\) thì  \(∆SHM = ∆SHN (c-g-c)\)

        \(\Rightarrow  SM = SN\). (2 cạnh tương ứng)

Vậy: Hai đường thẳng xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.

b) Xét tam giác vuông \(SHM\) và \(SHN\) có \(SH\) cạnh chung.

• Giả sử  \(SN > SM\)

      Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông \(SHM\) và \(SHN\) ta được:

      \(HM^{2}=SM^{2}-SH^{2}\)

      \(HN^{2}=SN^{2}-SH^{2}\) 

      \(\Rightarrow HN > HM\).

• Ngược lại: giả sử $HN>HM$

       Áp dụng định lí Pytago vào hai tam giác vuông \(SHM\) và \(SHN\) ta được:

       \(SM^{2}=HM^{2}+SH^{2}\)

      \(SN^{2}=HN^{2}+SH^{2}\) 

      \(\Rightarrow SN > SM\).

Vậy: Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn