a) $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$

=> tam giác ABC vuông tại B

=> $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

• Lại có $O$ là tâm hình vuông $ABCD(gt)$ nên $O$ là trung điểm của $AC$

=> $OA=\frac{1}{2}.AC=a.\frac{\sqrt{2}}{2}$

• Hình chóp tứ giác đều nên \(SO\bot (ABCD)\). Do đó \(SO\bot AC\)

Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\): có $SA^2=OA^2+SO^2$ (định lý Pitago)

=> \(SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

b) \(BD\bot AC\) (tính chất hình vuông)   (1)

   Vì $SO\perp (ABCD), BD\subset (ABCD)=>SO\perp BD$  (2)

Từ (1)(2) và $AC \cap SO$ suy ra: \(BD \bot (SAC)\),

Mà \(BD ⊂ (MBD)\) do đó \((MBD) ⊥ (SAC)(đpcm)\). 

c) $\Delta SCD$ và $\Delta SCB$ có:

          $SC$ chung

         $SD=SB(=a);CD=CB(=a)$

=> $\Delta SCD\sim \Delta SCB(c.c.c)$

=> $DM=BM$ (trung tuyến tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)

suy ra \(DM=BM\) suy ra tam giác \(BDM\) cân tại \(M\)

=> \(OM\) vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(OM\bot BD\)

Ta có: 

\(\left. \matrix{
(MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr 
OM \bot BD \hfill \cr 
OC \bot BD \hfill \cr} \right\} \)

$\Rightarrow $ góc giữa hai mặt phẳng \((MBD)\) và \((ABCD)\) là \(\widehat {MOC}\)

Trong $\Delta SOC$ vuông tại O có $OM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền $SC$

suy ra: \(OM=MC=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}\) hay Tam giác \(OMC\) vuông cân tại \(M\)

suy ra: \((\widehat{(MBD);(ABCD)})=(\widehat{MOC})=45^{0}.\)