Biến đổi vế trái của bất đẳng thức ta được:

\({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}\)

\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)

\(=\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right )\)

Với \(a, b, c > 0\),áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\left ( {a \over c} + {c \over a} \right )+ \left ( {b \over c} + {c \over b} \right )+ \left ( {b \over a} + {a \over b} \right ) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}}  + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}}  + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}}\)

\(\Leftrightarrow  ({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \geq 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6\)(đpcm)

Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\)