Vẽ hình:

Chứng minh:

a) Ta có: tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AD, G là trọng tâm

=> GB = GC (1);

   AD⊥BC

Xét tam giác vuông CDG và CDE ta có:

CD chung

DG = DE (gt)

=> ΔCDG=ΔCDE (hai cạnh góc vuông) 

=> CG = CE (2)(hai cạnh tương ứng)

Tương tự ta có, ΔBDE=ΔCDE (hai cạnh góc vuông) 

=> BE = CE (3)

Từ (1) (2) (3) => BG = GC = CE = BE.

b) Xét tam giác ABE và ACE ta có:

AB = AC

AE chung

BE = CE

=> ΔABE=ΔACE (c.c.c)

c) Nếu CG=$\frac{1}{2}AE$ => $\widehat{ACE}=90^{\circ}$(theo bài tập 75)

Mặt khác có CG = GE = CE

$\widehat{GCE}=60^{\circ}$

=> $\widehat{ACG}=30^{\circ}$

Do CD là tia phân giác của $\widehat{GCE}$ =>$\widehat{GCD}=30^{\circ}$

=> $\widehat{ACB}=60^{\circ}$

Vậy tam giác ABC đều.