Vẽ hình:

Chứng minh:

a) 

ABCD là hình bình hành tâm O 

=> 0 là trung điểm AC và $\widehat{ADO} = \widehat{CBO}$

Xét tam giác ODN và tam giác OBM:

OD = OB

$\widehat{DON} = \widehat{BMO}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat{NDO} = \widehat{MBO}$ (vì $\widehat{ADO} = \widehat{CBO}$)

=> $\bigtriangleup ODN = \bigtriangleup OBM$ (g.c.g)

=> ON = OM 

=> O là trung điểm MN

b) 

G là trọng tâm của $\bigtriangleup BCD$ nên $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0}$

$=> (\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}) + \overrightarrow{GC} + (\overrightarrow{GN} + \overrightarrow{ND}) = \overrightarrow{0}$

$=> \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} + (\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ND}) = \overrightarrow{0}$ (1)

Có O là trung điểm của MN (chứng minh câu a)

O là trung điểm của BD (chứng minh câu a)

=> BMDN là hình bình hành

$=> \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{ND}$

$=> -\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{ND}$

$=> \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{ND} = \overrightarrow{0}$

Thay vào (1) ta có: $\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GN} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$ 

=> G là trọng tâm tam giác MNC