a) Chứng minh \(\frac{AH'}{AH}= \frac{B'C'}{BC}\) 

Vì B'C' // với BC (gt) => \(\frac{B'C'}{BC} = \frac{AB'}{AB} \,\ (1)\) (Áp dụng định lí Ta-lét trong tam giác ABC)

Trong ∆ABH có BH' // BH (gt) => \(\frac{AH'}{AH} =\frac{AB'}{BC}\,\  (2)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{B'C'}{BC}= \frac{AH'}{AH}(=\frac{AB'}{BC})\)

b) B'C' // BC mà AH ⊥ BC nên AH' ⊥ B'C' hay AH' là đường cao của tam giác AB'C'.

Ta có: AH' = \(\frac{1}{3}\) AH (gt) => $\frac{AH'}{AH}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng kết quả câu a): \(\frac{B'C'}{BC}\) = \(\frac{AH'}{AH}\) = \(\frac{1}{3}\) => $B'C' = \frac{1}{3} BC$

=> S_AB’C’= \(\frac{1}{2}.AH'.B'C' = \frac{1}{2}.\frac{1}{3}.AH.\frac{1}{3}.BC\)

=>S_AB’C’= (\(\frac{1}{2}.AH.BC.\frac{1}{9}\)

mà S_ABC= \(\frac{1}{2}AH.BC\) = 67,5 cm²

Vậy S_AB’C’= \(\frac{1}{9}.67,5\) = 7,5 cm²