a) Vẽ $PB ⊥ MR$

Vậy tam giác $MPQ$ và $RPQ$ có chung đường cao $PB$

Vì $Q$ là trọng tâm của $ΔMNR$ nên $MQ = 2QR$ (suy ra từ tính chất trọng tâm của tam giác)

Ta có: $S_{\Delta MPQ}=\frac{1}{2}.MQ.PB=\frac{1}{2}.2QR.PB=QR.PB$

và $S_{\Delta PRQ}=\frac{1}{2}.QR.PB$

Suy ra $\frac{S_{\Delta MPQ}}{S_{\Delta PRQ}}=\frac{QR.PB}{\frac{1}{2}.QR.PB}=2$

b) Vẽ $NA ⊥ MR$

Vậy $NA$ là đường cao của $ΔMNQ$ đồng thời là đường cao của $ΔRNQ$.

Vì $Q$ là trọng tâm của $ΔMNP$ nên $MQ = 2QR$.

Ta có: $S_{\Delta MNQ}=\frac{1}{2}.MQ.NA=\frac{1}{2}.2QR.NA=QR.NA$

và $S_{\Delta NRQ}=\frac{1}{2}.QR.NA$

Suy ra $\frac{S_{\Delta MNQ}}{S_{\Delta NRQ}}=\frac{QR.NA}{\frac{1}{2}.QR.NA}=2$

c) Xét hai tam giác vuông $NAR$ và $PBR$, ta có:

$NR=PR (gt)$

$\widehat{NRA}=\widehat{PRB}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta NAR = \Delta PBR$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow NA =PB$ (cạnh tương ứng)

Ta có: $S_{\Delta PRQ}=\frac{1}{2}.QR.PB=\frac{1}{2}.QR.NA=S_{\Delta NRQ}$

Vậy: $S_{\Delta PRQ}=S_{\Delta NRQ}$ (đpcm)

• Từ kết quả câu a) ta có:

    $S_{ΔQPM} = 2.S_{ΔPRQ} = S_{ΔQNP}$ (do câu c) (*)

• Từ kết quả câu b) ta có:

    $S_{ΔQMN} = 2S_{ΔRNQ }= S_{ΔQNP}$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra:

    $S_{ΔQMN} = S_{ΔQNP} = S_{ΔQPM}$ (đpcm)