Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy). A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.

Tổng khoảng cách từ nhà máy đến 4 khu dân cư là: $OA + OB + OC + OD$.

Ta có:

• Nếu O nằm trên đoạn AC thì:

    $OA + OC = AC$

    $OB + OD > BD$ (bất đẳng thức tam giác trong tam giác OBD)

$\Rightarrow OA + OB + OC + OD > AC + BD$

• Nếu O nằm trên đoạn BD thì:

    $OB + OD = BD$

    $OA + OC > AC$ (bất đẳng thức tam giác trong tam giác OAC)

$\Rightarrow OA + OB + OC + OD > AC + BD$

• Nếu O không nằm trên AC và BD thì:

    $OA + OC > AC$ (bất đẳng thức tam giác trong tam giác OAC)

    $OB + OD > BD$ (bất đẳng thức tam giác trong tam giác OBD)

$\Rightarrow OA + OB + OC + OD > AC + BD$

• Nếu O là giao điểm của AC và BD thì:

    $OA + OB + OC + OD = AC + BD$

Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.