Trường hợp góc N nhọn

$\Delta MNP$ có $\widehat{N}$ nhọn nên chân đường cao $H$ từ $M$ nằm giữa $N$ và $P$.

Ta có: hình chiếu tương ứng của $MN,MP$ lần lượt là $NH,HP$.

Từ đề bài: $MN<MP\Rightarrow HN<HP$ (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)

Xét $\Delta MNP$ có: $MN<MP$

$\Rightarrow \widehat{MPN}<\widehat{MNP}$ (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Vì $\widehat{NMH}+\widehat{MNH}=90^0$ (do tam giác MNH vuông tại H)

và $\widehat{PMH}+\widehat{MPH}=90^0$ (do tam giác MHP vuông tại H)

$\Rightarrow \widehat{NMH}<\widehat{PMH}$ (đpcm)

Trường hợp góc N tù

$\Delta MNP$ có $\widehat{N}$ tù nên chân đường cao $H$ từ $M$ nằm ngoài $N$ và $P$. Tức là $N$ nằm giữa $H$ và $P$.

$\Rightarrow HN<HP$ (đpcm)

Vì $N$ nằm giữa $H$ và $P$ nên tia $MN$ ở giữa hai tia $MH$ và $MP$. 

Suy ra $\widehat{NMH}<\widehat{PMH}$ (đpcm)