Bài 99. Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 16, 23, 120, 625

Trả lời:

Ta có:

16 = $2^{4}$

23 = $23^{1}$

120 = $2^{3}.3.5$

625 = $5^{4}$

Bài 100. Thực hiện mỗi phép tính sau, rồi phân tích kết quả ra thừa số nguyên tố:

a) 777 : 7 + 361 : $19^{2}$

b) 3.$5^{2}$ - 3.17 + $4^{3}$.7

Trả lời:

a) 777 : 7 + 361 : $19^{2}$ = 111 + 1 = 112 = $2^{4}$.7

b) 3.$5^{2}$ - 3.17 + $4^{3}$.7 = 3.25 - 3.17 + 64.7 = 472 = c.59

Bài 101. Phân tích 225 và 1200 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết mỗi số đó chia hết cho những số nguyên tố nào?

Trả lời:

Ta có: 225 = $3^{2}$.$5^{2}$; 1200 = $2^{4}$.3.$5^{2}$

Số 225 chia hết cho các số nguyên tố là 3, 5; số 1200 chia hết cho các số nguyên tố là 2; 3; 5

Bài 102. Bạn Lan khẳng định: "Khi phân tích số tự nhiên ra thừa số nguyên tố, nếu a = p.$q^{2}$ thì a có tất cả 6 ước". Theo em, bạn Lan khẳng định đúng hay sai? Vì sao?

Trả lời:

a = p.$q^{2}$ thì các ước của a là: 1; p; q; p.q; $q^{2}$; p.$q^{2}$

Như vậy a có 6 ước và bạn Lan khẳng định đúng:

Nhận xét: a = $p^{m}$.$q^{n}$ thì a có (m+1).(n+1) ước.

Bài 103. Cho a = $7^{2}$.$11^{3}$. Trong các số 7a, 11a và 13a, số nào có nhiều ước nhất?

Trả lời:

Dựa vào nhận xét trong câu 102: a = $p^{m}$.$q^{n}$ thì a có (m+1).(n+1) ước.

7a = 7.$7^{2}$.$11^{3}$ = $7^{3}$.$11^{3}$ có 4.4 = 16 ước

11a = 11.$7^{2}$.$11^{3}$ = $7^{2}$.$11^{4}$ có 3.5 = 15 ước

13a = 13.$7^{2}$.$11^{3}$ có 2.3.4 = 24 ước

Vậy 13a có nhiều ước nhất

Bài 104. Tìm số tự nhiên n, biết:

a) 2 + 4 + 6 + ... + 2.(n - 1) + 2n = 210

b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) = 225

Trả lời:

a) Ta thấy: 2 + 4 + 6 + ... + 2.(n - 1) + 2n có (2n - 2) : 2 + 1 = n (số)

Do đó:

2 + 4 + 6 + ... + 2.(n - 1) + 2n = (2n + 2).n : 2 = (n + 1).n = 210

Mà 210 = 14.15 nên n = 14

b) Ta thấy: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) có (2n - 1 - 1) : 2 + 1 = n số hạng

Do đó:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 3) + (2n - 1) = (2n - 1 + 1).n : 2 = $n^{2}$ = 225 = $15^{2}$

Nên n = 15

Bài 105. Bạn Khanh có 16 cái bút. Bạn Khanh muốn chia số bút đó vào các hộp sao cho số bút của các hộp bằng nhau và mỗi hộp có ít nhất 2 cái. Bạn Khanh có thể xếp 16 cái bút đó vào mấy hộp? (Kể cả trường hợp xếp vào một hộp)

Trả lời:

Để chia 16 cái bút vào các hộp với số bút của các hộp bằng nhau và mỗi hộp có ít nhất 2 cái thì số bút mỗi hộp phải là ước lớn hơn hoặc bằng 2 của 16. 

Ta có bảng:

Vậy bạn Khanh có thể xếp 16 cía bút đó vào 8, 4, 2 hoặc 1 hộp

Bài 106. Một trường học có 1015 học sinh, cần phải xếp mỗi hàng bao nhiêu học sinh để số học sinh mỗi hàng là như nhau? Biết rằng số hàng không quá 40 hàng và không ít hơn 10 hàng.

Trả lời:

Để xếp 1015 học sinh vào các hàng sao cho số học sinh mỗi hàng như nhau và xếp không quá 40 hàng và không ít hơn 10 hàng thì số hàng phải là ước lớn hơn hoặc bằng 10 và nhỏ hơn hoặc bằng 40 của 1015.

Mà 1015 = 5.7.29 nên có thể xếp thành 29 hàng hoặc 35 hàng.

Số học sinh mỗi hàng khi xếp thành 29 hàng là : 1015 : 29 = 35 học sinh

Số học sinh mỗi hàng khi xếp thành 35 hàng là : 1015 : 35 = 29 học sinh

Bài 107. Học sinh lớp 6A được nhận phần thưởng từ Liên đội nhà trường, mỗi học sinh đều được nhận số phần thưởng như nhau. Cô tổng phụ trách đã phát hết 215 quyển vở và 129 quyển truyện cho học sinh lớp 6A. Số học sinh lớp 6A là bao nhiêu, biết rằng số học sinh của lớp nhiều hơn 10 học sinh?

Trả lời:

Vì cô tổng phụ trách đã phát hết 215 quyển vở và 129 quyển truyện và số học sinh của lớp nhiều hơn 10 học sinh nên số học sinh phải là ước lớn hơn 10 của cả 215 và 129. 

Ta có: 215 = 5.43 và 129 = 3.43

Do đó dễ thấy số học sinh của lớp 6A là 43 học sinh

Bài 108. Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 3n + 13 chia hết cho n + 1

b) 5n + 19 chia hết cho 2n + 1

Trả lời:

a) Ta có : 3n + 13 = 3.(n + 1) + 10

3n + 13 chia hết cho n + 1 thì 3(n + 1) + 10 cũng chia hết cho n + 1. Hay 10 chia hết cho n + 1

Do đó n + 1 $\in $ {1; 2; 5; 10}

Vậy n $\in $ {0; 1; 4; 9}

b) 5n + 19 chia hết cho 2n + 1 thì 2.(5n + 19) chia hết cho 2n + 1

Hay 5.(2n + 1) + 33 chia hết cho 2n + 1

Mà 5.(2n + 1) chia hết cho 2n + 1 nên 33 chia hết cho 2n + 1

Suy ra 2n + 1 $\in $ {1; 3; 11; 33}

Vậy n $\in $ {0; 1; 5; 16}