Bài 89. Cho các số 3, 13, 17, 18, 25, 39, 41. Trong các số đó:

a) Số nào là số nguyên tố? Vì sao?

b) Số nào là hợp số? Vì sao?

Trả lời:

a) Các số 3, 13, 17, 41 là các số nguyên tố vì chúng là các số tự nhiên lớn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

b) Các số 18, 25, 39 là hợp số vì chúng đều là các số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.

Bài 90. a) Tìm các ước nguyên tố của các số sau: 12, 36,  43

b) Tìm các ước không phải là số nguyên tố của các số sau: 21, 35, 47

Trả lời:

a) Tập hợp các ước nguyên tố của 12, 36, 43 lần lượt là: {2; 3}, {2; 3}, {43}

b) Tập hợp các ước không phải là số nguyên tố của 21, 35, 47 lần lượt là: {1; 21}, {1; 35}, {1}

Bài 91. Hai bạn Ân và Huệ tranh luận tính đúng, sai của các phát biểu sau:

a) Có ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố;

b) Có hai số nguyên tố mà tổng của chúng là một số lẻ;

c) Mọi số nguyên tố đều là số lẻ;

d) Tổng của hai số nguyên tố bất kì là một số chẵn;

Trả lời:

a) Đúng.

Ví dụ 3 số lẻ liên tiếp là số nguyên tố là : 3 ; 5 ; 7

b) Đúng

Ví dụ 2 và 3 là hai số nguyên tố và tổng của chúng là 2 + 3 = 5 là một số lẻ

c) Sai 

Vì 2 là số nguyên tố nhưng là số chẵn

d) Sai

Ví dụ 2, 3 là hai số nguyên tố nhưng 2 + 3 = 5 là số lẻ.

Bài 92. Ba số nguyên tố phân biệt có tổng là 106. Số lớn nhất trong ba số nguyên tố đó có thể lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Tổng của ba số nguyên tố là 106 là số chẵn nên trong ba số chắc chắn có số 2.

Do đó tổng 2 số còn lại là 106 - 2 = 104 và hai số đều nhỏ hơn 102.

Vậy số lớn nhất trong ba số nguyên tố có thể là 101.

Bài 93. Tìm số nguyên tố p thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) p + 1 cũng là số nguyên tố

b) p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố

c) p + 2; p + 6; p + 14; p + 18 đều là số nguyên tố.

Trả lời:

a) Dễ thấy p; p + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

Mà 2 số liên tiếp đều là số nguyên tố chỉ có 2 và 3

Do đó p = 2

b) Ta xét ba trường hợp:

+) p = 2 thì p + 2 không là số nguyên tố (không thỏa mãn)

+) p = 3 thì p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố (thỏa mãn)

+) p > 3 thì p; bộ ba số p + 2; p + 4 luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3 nên chúng không đồng thời là số nguyên tố

c) Giải tương tự câu b) xét với:

p = 2 thì p + 2 = 4 là hợp số (không thỏa mãn)

p = 3 thì p + 6 = 9 là hợp số (không thỏa mãn)

p = 5 thì ta được 7; 11; 19; 23 là các số nguyên tố (thỏa mãn)

p > 5 thì bộ 4 số p + 2; p + 6; p + 14; p + 18 luôn tồn tại 1 số chia hết cho 5 (không thỏa mãn)

Vậy p = 5

Bài 94. Tìm số tự nhiên n sao cho:

a) 7n là số nguyên tố;

b) $3^{n}$ + 18 là số nguyên tố

Trả lời:

a) Ta xét ba trường hợp:

+) n = 0 thì 7n không là số nguyên tố

+) n = 1 thì 7n = 7 là số nguyên tố

+) n > 1 thì 7n > luôn có ít nhất 3 ước là 1, n và 7n nên không là số nguyên tố

Vậy n = 1

b) Ta xét hai trường hợp:

+) n = 0 thì $3^{n}$ + 18 = 19 là số nguyên tố

+) n > 0 thì $3^{n}$ + 18 luôn chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên nó luôn là hợp số.

Vậy n = 0

Bài 95. Chứng tỏ rằng các tổng sau đây là hợp số:

a) $\overline{abcabc}$ + 22

b) $\overline{abcabc}$ + 39

Trả lời:

a) Ta có:

$\overline{abcabc}$ + 22 = $\overline{abc}$.1001 + 22

Có 1001 chia hết cho 11; 22 chia hết cho 11 nên $\overline{abc}$.1001 + 22 chia hết cho 11

Hay $\overline{abcabc}$ + 22 chia hết cho 11 và là hợp số

b) Ta có:

$\overline{abcabc}$ + 39 = $\overline{abc}$.1001 + 39

Có 1001 chia hết cho 13; 39 chia hết cho 13 nên $\overline{abc}$.1001 + 39 chia hết cho 13

Hay $\overline{abcabc}$ + 39 chia hết cho 13 và là hợp số

Bài 96. Chứng tỏ rằng mọi ước nguyên tố của 2.3.4.....2020.2021 - 1 đều lớn hơn 2021.

Trả lời:

Đặt A = 2.3.4.5....2020.2021 - 1

Giả sử k là một ước nguyên tố của A và k bé hơn hoặc bằng 2021.

Do k là một ước nguyên tố của A nên A chia hết cho k

Mà k bé hơn hoặc bằng 2021 nên 2.3.4.....2020.2021 cũng chia hết cho k

Suy ra 1 chia hết cho k (vô lý)

Vậy k > 2021 hay mọi ước nguyên tố của 2.3.4.....2020.2021 - 1 đều lớn hơn 2021.

Bài 97. Tìm chữ số x để mỗi số sau là hợp số:

a) $\overline{2x}$                          b) $\overline{7x}$

Trả lời:

a) x $\in $ {0; 1; 2; 4; 5; 6; 7; 8} thì $\overline{2x}$ là hợp số

b) x $\in $ {0; 2; 4; 5; 6; 7; 8} thì $\overline{7x}$ là hợp số

Bài 98. Tìm số tự nhiên a để trong 10 số tự nhiên sau: a + 1; a + 2; a + 3; ...; a + 9; a + 10 có nhiều số nguyên tố nhất.

Trả lời:

Ta xét các trường hợp sau:

+) a = 1 thì 10 số tự nhiên đó là: 2; 3; 4; 5; ...; 10; 11 và trong 10 số đó có năm số nguyên tố là 2; 3; 5; 7; 11

+) a > 1 và a là số lẻ thì a + 1; a + 3; a + 5; a + 7; a + 9 là các số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

Năm số còn lại là a + 2; a + 4; a + 6; a + 8 ; a + 10 tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 và lớn hơn 3

Do đó có nhiều nhất 4 số nguyên tố trong 10 số đã cho.

+) a > 1 và a là số chẵn thì a + 2; a + 4; a + 6; a + 8; a + 10 là các số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số

Năm số còn lại là a + 1; a + 3; a + 5; a + 7; a + 9 tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 3 và lớn hơn 3

Do đó có nhiều nhất 4 số nguyên tố trong 10 số đã cho.

Vậy a = 1