Bài 77. Cho các số 27, 45, 881, 916, 2100, 2439, 13118, 35550, 5223411. Trong các số đó:

a) Số nào chia hết cho 3?

b) Số nào lớn hơn 2000 không chia hết cho 3?

c) Số nào chia hết cho 9?

d) Số nào nhỏ hơn 3000 không chia hết cho 9?

Trả lời:

a) Số chia hết cho 3 là: 27, 45, 2100, 2439, 35550, 5223411 vì các số này đều có tổng các chữ số chia hết cho 3.

b) Các số lớn hơn 2000 không chia hết cho 3 là: 13118 vì số đó có tổng các chữ số không chia hết cho 3.

c) Các số chia hết cho 9 là: 27, 45, 2439, 35550, 5223411 vì các số đó đều có tổng các chữ số chia hết cho 9

d) Các số nhỏ hơn 3000 không chia hết cho 9 là: 881; 916; 2100 vì các số này có tổng các chữ số không chia hết cho 9.

Bài 78. Tìm chữ số x để số $\overline{x1269}$ thỏa mãn mỗi điều kiện sau:

a) Chia hết cho 3

b) Chia hết cho 9

c) Chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 9

Trả lời:

a) Ta có $\overline{x1269}$ chia hết cho 3 <=> x + 1 + 2 + 6 + 9 chia hết cho 3

Hay 18 + x chia hết cho 3

Mà 18 chia hết cho 3 nên x chia hết cho 3. (x khác 0)

Vậy x $\in $ {3; 6; 9}

b) $\overline{x1269}$ chia hết cho 9 <=> x + 1 + 2 + 6 + 9 chia hết cho 9

Hay 18 + x chia hết cho 9

Mà 18 chia hết cho 9 nên x chia hết cho 9. (x khác 0)

Vậy x = 9

c) $\overline{x1269}$ chia hết cho 3 <=> x $\in $ {3; 6; 9} (theo câu a)

    $\overline{x1269}$ không chia hết cho 9 thì x khác 9 (theo câu b)

Do đó để $\overline{x1269}$ chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 9 thì x $\in $ {3; 6}

Bài 79. Có bao nhiêu số có dạng $\overline{11a10b}$ chia cho 5 dư 1 và chia hết cho 9?

Trả lời:

$\overline{11a10b}$ chia cho 5 dư 1 thi b = 1 hoặc b = 6

+) b = 1 thì $\overline{11a10b}$ có dạng $\overline{11a101}$ chia hết cho 9 thì:

 1 + 1 + a + 1 + 0 + 1 chia hết cho 9

Hay 4 + a chia hết cho 9 nên a = 5

+) b = 6 thì $\overline{11a10b}$ có dạng $\overline{11a106}$ chia hết cho 9 thì:

 1 + 1 + a + 1 + 0 + 9 chia hết cho 9

Hay 9 + a chia hết cho 9 nên a = 0 hoặc a = 9

Vậy có 3 số thỏa mãn đề bài là 115101; 110106; 119106

Bài 80. Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao mỗi biểu thức sau chia hết cho 3:

a) A = 1233 + 42312 + 72036

b) B = 111 + 222 + 333 + ... + 999

Trả lời:

a) Ta thấy: 1233; 42312; 72036 đều là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên chúng đều chia hết cho 3

Do đó tổng A = 1233 + 42312 + 72036 chia hết cho 3

b) Ta thấy: 111; 222; 333; ... ; 999 đều là các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên chúng đều chia hết cho 3

Do đó tổng B = 111 + 222 + 333 + ... + 999

Bài 81. Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao mỗi biểu thức sau chia hết cho 9:

a) P = 81 + 108 + 918

b) M = 12.585 + 13.63333 + 14.378225 + 18.5142312

c) N = 11 + 22 + 33 + ... + 99 + 2021.60021

Trả lời:

a) P = 81 + 108 + 918 là tổng của các số chia hết cho 9 nên P chia hết cho 9

b) M = 12.585 + 13.63333 + 14.378225 + 18.5142312

Ta thấy 585; 63333; 378225; 18 đều chia hết cho 9 nên M chia hết cho 9

c) N = 11 + 22 + 33 + ... + 99 + 2021.60021

       = (11 + 88) + (22 + 77) + (33 + 66) + (44 + 55) + 99 + 2021.60021

       = 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 2021.60021

Do 99 chia hết cho 9 và 60021 chia hết cho 9 nên N chia hết cho 9

Bài 82. Tìm các số tự nhiên a, b sao cho:

a) $\overline{a26b}$ chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9

b) 123.a + 9873.b = 2227691

Trả lời:

a) $\overline{a26b}$ chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9

+) $\overline{a26b}$ chia hết cho cả 2 và 5 nên b = 0

+) $\overline{a26b}$ chia hết cho cả 3 và 9 tương đương với $\overline{a26b}$ chia hết cho 9

Suy ra a + 2 + 6 + b chia hết cho 9. Hay a + 8 chia hết cho 9

Suy ra a = 1

Vậy a = 1; b = 0

b) 123.a + 9873.b = 2227691

Ta thấy 123 chia hết cho 3; 9873 chia hết cho 3 nên 123.a + 9873.b chia hết cho 3

Mà 2227691 không chia hết cho 3 nên 123.a + 9873.b = 2227691 là vô lý.

Vậy không có số tự nhiên a; b thỏa mãn

Bài 83. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số chia cho 3 dư 1?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số chia cho 9 dư 2?

c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số $\overline{ab}$ sao cho $\overline{ab}$ + $\overline{ba}$ chia hết cho 9?

Trả lời:

a) Các số tự nhiên có hai chữ số chia cho 3 dư 1 là: 10; 13; 16; ...; 94; 97.

Vậy số các số tự nhiên có hai chữ số chia cho 3 dư 1 là:

(97 - 10) : 3 + 1 = 30 (số)

b) Các số tự nhiên có ba chữ số chia cho 9 dư 2 là: 101; 110; 119; ...; 983; 992

Vậy số các số tự nhiên có ba chữ số chia cho 9 dư 2 là:

(992 - 101) : 9 + 1 = 100 (số)

c) Ta có: c + $\overline{ba}$ = 10a + b + 10b + a = 11(a + b)

$\overline{ab}$ + $\overline{ba}$ chia hết cho 9 thì 11(a + b) chia hết cho 9

Mà 11 không chia hết cho 9 nên a + b chia hết cho 9.

Kết hợp điều kiện a, b khác 0 ta có:

$\overline{ab}$ $\in $ {18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 99}

Bài 84. Bạn Minh chơi trò phi tiêu với ba cái tiêu. Lần thứ nhất, bạn Minh phi 2 tiêu vào vùng Q và 1 tiêu vào vùng R thì được 12 điểm. Lần thứ hai, bạn Minh phi 2 tiêu vào vùng P và 1 tiêu vào vùng R thì được 18 điểm. Lần thứ ba, bạn Minh phi trúng mỗi vùng một tiêu. Hỏi số điểm lần thứ ba của bạn Minh có chia hết cho cả 3 và 5 không? Tại sao?

Trả lời:

Gọi số điểm tại mỗi vùng Q, R, P lần lượt là a, b, c (a, b, c là các số tự nhiên lớn hơn 0)

Minh phi 2 tiêu vào vùng Q và 1 tiêu vào vùng R thì được 12 điểm, suy ra 2a + b = 12

Minh phi 2 tiêu vào vùng P và 1 tiêu vào vùng R thì được 18 điểm, suy ra 2c + a = 18

Suy ra (2a + b) + (2c + b) = 12 + 18 = 30

=> 2(a + b + c) = 30 hay a + b + c = 15

Do đó lần thứ ba Minh phi trúng mỗi vùng một tiêu thì điểm của Minh là 15 điểm và số điểm này chia hết cho cả 3 và 5

Bài 85. Cho a là số tự nhiên có 2004 chữ số và chia hết cho 9. Gọi b là tổng các chữ số của a; c là tổng các chữ số của b và d là tổng các chữ số của c. Tính d.

Trả lời:

Do a là số chia hết cho 9 nên b là tổng các chữ số của a cũng chia hết cho 9

b là số chia hết cho 9 nên c là tổng các chữ số của b cũng chia hết cho 9

c là số chia hết cho 9 nên d là tổng các chữ số của c cũng chia hết cho 9

a là số có 2004 chữ số, mỗi chữ số của a đều không vượt quá 9 nên b $\leq $ 9.2004 = 18036 < 19999

c là tổng các chữ số của b nên c < 1 + 9.4 = 37 < 39

d là tổng các chữ số của c nên d < 12

Mà d chia hết cho 9 nên d = 9

Bài 86. Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 10 đến 99 liền nhau ta được một số tự nhiên. Hỏi số đó có chia hết cho 9 hay không? Vì sao?

Trả lời:

Gọi A là số tự nhiên được viết bởi 90 số từ 10 đến 99 liền nhau.

Xét các số từ 10 đến 99.

Tổng các chữ số hàng đơn vị của 90 số này là:

(0 + 1 + 2 + ... + 8 + 9).9 = 405

Tổng các chữ số hàng chục của 90 số này là:

(1 + 2 + 3 + ... + 9).10 = 450

Do đó tổng các chữ số của số A là:  405 + 450 = 855

Ta thấy 855 chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9

Vậy số tự nhiên được tạo thành khi viết liên tiếp các số tự nhiên từ 10 đến 99 liền nhau chia hết cho 9.

Bài 87. Không thực hiện phép tính, hãy giải thích tại sao phép nhân sau là sai:

        7654.658 = 5136332

Trả lời:

Ta thấy 7654 chia cho 3 dư 1; 658 chia cho 3 cũng dư 1 nên 7654.658 chia cho 3 dư 1

Mà 5136332 chia cho 3 dư 2 nên phép nhân 7654.658 = 5136332 là sai.

Bài 88. Một công ty có 9 contenơ hàng với khối lượng hàng mỗi contenơ là: 193 tạ, 239 tạ, 277 tạ, 297 tạ, 316 tạ, 329 tạ, 346 tạ, 355 tạ. Trong sáu tháng đầu năm, công ty đó đã xuất khẩu 8 contenơ hàng, trong đó lượng hàng xuất khẩu của Quý II gấp 8 lần Quý I. Contenơ hàng còn lại có khối lượng bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Tổng khối lượng của 9 contenơ là:

193 + 239 + 277 + 297 + 316 + 321 + 329 + 346 + 355 = 2673 (tạ)

Ta thấy 2673 chia hết cho 9 nên tổng khối lượng của 9 contenơ là một số chia hết cho 9.

Do lượng hàng xuất khẩu của Quý II gấp 8 lần Quý I nên tổng lượng hàng xuất khẩu trong sáu tháng đầu năm là một số chia hết cho 9. 

Suy ra khối lượng contenơ hàng còn lại phải là một số chia hết cho 9.

Trong các số 193, 239, 277, 297, 316, 321, 329, 346, 355 chỉ có số 297 chia hết cho 9 nên khối lượng contenơ hàng còn lại là 297 tạ.