Bài 37. a) Viết mỗi số sau thành bình phương của một số tự nhiên:

36; 64; 169; 225; 361; 10 000

             b) Viết mỗi số sau thành lập phương của một số tự nhiên:

8; 27; 125; 216; 343; 8 000

Trả lời:

a) $36 = 6^{2};64=8^{2};169=13^{2};225=15^{2};361=19^{2};10000=100^{2}$

b) $8=2^{3}; 27=3^{3}; 125=5^{3}; 216=6^{3}; 343=7^{3}; 8 000=20^{3}$

Bài 38. Cho các số 16, 20, 25, 60, 81, 90, 625, 1000, 1331. Trong các số đó, số nào viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1? (Chú ý rằng có những số có nhiều cách viết dưới dạng lũy thừa)

Trả lời:

Các số viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ lớn hơn 1 là:

• $16=4^{2}=2^{4}$
• $25=5^{2}$
• $81=9^{2}=3^{4}$
• $625=5^{4}=25^{2}$
• $1000=10^{3}$
• $1331=11^{3}$

Bài 39. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa, một tích các lũy thừa hoặc một tổng các lũy thừa:

a) 3.3.3.3.3

b) y.y.y.y

c) 5.p.5.p.2.q.4.q

d) a.a + b.b + c.c.c + d.d.d.d

Trả lời:

a) 3.3.3.3.3 = $3^{5}$

b) y.y.y.y = $y^{4}$

c) 5.p.5.p.2.q.4.q = $5^{2}.p^{2}.q^{2}.2^{3}$

d) a.a + b.b + c.c.c + d.d.d.d = $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{3}$ + $d^{4}$

Bài 40. Tế bào lớn lên đến một kích thước nhất định thì phân chia. Quá trình đó diễn ra như sau: Đầu tiên từ 1 nhân thành 2 nhân tách xa nhau. Sau đó chất tế bào được phân chia, xuất hiện một vách ngăn, nhăn đôi tế bào cũ thành 2 phần tế bào con. Các tế bào con tiếp tục lớn lên cho đến khi bằng tế bào mẹ. Các tế bào này lại tiếp tục phân chia thành 4, rồi thành 8, ... tế bào.

Như vậy từ một tế bào mẹ thì: sau khi phân chia lần 1 được 2 tế bào con; lần 2 được $2^{2}=4$ (tế bào con); lần 3 được $2^{3}=8$ (tế bào con). Hãy tính số tế bào còn có được ở lần phân chia thứ 5, thứ 8 và thứ 11.

Trả lời:

Ta có, từ một tế bào mẹ thì:

sau khi phân chia 5 lần được $2^{5}=32$ tế bào con

sau khi phân chia 8 lần được $2^{8}=256$ tế bào con

sau khi phân chia 11 lần được $2^{11}=2048$ tế bào con

Bài 41. Một nền nhà có dạng hình vuông gồm a hàng, mỗi hàng lát a viên gạch. Bạn An đếm được 113 viên gạch được lát trên nền nhà đó. Theo em, bạn An đếm đúng hay sai?

Trả lời:

Dễ thấy để lát đủ nền nhà cần có a.a = $a^{2}$ viên gạch.

Ta thấy 113 không viết được dưới dạng lũy thừa của một số tự nhiên với số mũ bằng 2 nên bạn An đếm sai.

Bài 42. So sánh:

a) $2^{6}$ và $6^{2}$

b) $7^{3+1}$ và $7^{3}+1$

c) $13^{14}-13^{13}$ và $13^{15}-13^{14}$

d) $3^{2+n}$ và $2^{3+n}$ (n thuộc N*)

Trả lời:

a) $2^{6}$ = 64 > 36 = $6^{2}$

b) $7^{3+1}$ = 2401 > 344 = $7^{3}+1$

c) $13^{14}-13^{13}$ = $13^{13}$.12 < $13^{14}$.12 = $13^{15}-13^{14}$

d) $3^{2+n}$ và $2^{3+n}$ (n thuộc N*)

Có: $3^{2+n}$ = $3^{2}$.$3^{n}$ = 9.$3^{n}$

       $2^{3+n}$ = $2^{3}$.$2^{n}$ = 8.$2^{n}$

Vì n thuộc N* nên $3^{n}$ > $2^{n}$ và 9 > 8 nên ta có $3^{2+n}$ > $2^{3+n}$

Bài 43. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

A = 1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{99}$ + $3^{100}$

B = $2^{100}$ - $2^{99}$ + $2^{98}$ - $2^{97}$ + ... - $2^{3}$ + $2^{2}$ - 2 + 1

Trả lời:

a) Ta có:

   A = 1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{99}$ + $3^{100}$

3.A = 3.(1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{99}$ + $3^{100}$)

      =  3 + $3^{3}$ + $3^{4}$ + ... + $3^{100}$ + $3^{101}$

Do đó ta được:

3A - A = (3 + $3^{3}$ + $3^{4}$ + ... + $3^{100}$ + $3^{101}$) - (1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{99}$ + $3^{100}$)

Hay 2A =  $3^{101}$ - 1

Suy ra A = $\frac{3^{101}-1}{2}$

b) Ta có:

B = $2^{100}$ - $2^{99}$ + $2^{98}$ - $2^{97}$ + ... - $2^{3}$ + $2^{2}$ - 2 + 1

2B = 2.($2^{100}$ - $2^{99}$ + $2^{98}$ - $2^{97}$ + ... - $2^{3}$ + $2^{2}$ - 2 + 1)

     = $2^{101}$ - $2^{100}$ + $2^{99}$ - $2^{98}$ + ... - $2^{4}$ + $2^{3}$ - $2^{2}$ + 2

Do đó ta được:

B + 2B = ($2^{100}$ - $2^{99}$ + $2^{98}$ - $2^{97}$ + ... - $2^{3}$ + $2^{2}$ - 2 + 1) + ($2^{101}$ - $2^{100}$ + $2^{99}$ - $2^{98}$ + ... - $2^{4}$ + $2^{3}$ - $2^{2}$ + 2)

Hay 3B = $2^{101}$ + 1

Suy ra B = $\frac{2^{101}+1}{3}$

Bài 44. Viết kết quả mỗi phép tính sau dưới dạng một lũy thừa:

a) $7^{4}$.$7^{5}$.$7^{6}$;

b) (54 : 3)$^{7}$.324

c) $[(8+2)^{2}.10^{100}]:(10^{0}.10^{94})$

d) $a^{9}:a^{9}$ (a khác 0)

Trả lời:

a) $7^{4}$.$7^{5}$.$7^{6}$ = $7^{4+5+6}$ = $7^{15}$

b) (54 : 3)$^{7}$.324 = 18$^{7}$.18$^{2}$ = 18$^{2+7}$ = 18$^{9}$

c) $[(8+2)^{2}.10^{100}]:(10^{0}.10^{94})$ = $[10^{2}.10^{100}]:10^{94}$ = $10^{102}:10^{94}$ = $10^{8}$

d) $a^{9}:a^{9}$ = $a^{9-9}$ = $a^{0}$ = 1

Bài 45. a) Viết các số: 123; 2355; $\overline{abcde}$ dưới dạng tổng các lũy thừa của 10.

b) Tìm số $\overline{abcdef}$ (d khác 0) sao cho $\overline{abcdef}$ = 999.$\overline{abc}$ + 200

Trả lời:

a) 123 = $10^{2}$ + 2.$10^{1}$ + 3.$10^{0}$

     2355 = 2.$10^{3}$ + 3.$10^{2}$ + 5.$10^{1}$ + 5.$10^{0}$

     $\overline{abcde}$ = a.$10^{4}$ + b.$10^{3}$ + c.$10^{2}$ + d.$10^{1}$ + e.$10^{0}$

b) Ta có: $\overline{abcdef}$ = $\overline{abc}$.1000 + $\overline{def}$

Do $\overline{abcdef}$ = 999.$\overline{abc}$ + 200 nên ta có:

999.$\overline{abc}$ + 200 = $\overline{abc}$.1000 + $\overline{def}$

Suy ra $\overline{abc}$ + $\overline{def}$ = 200

Mà d khác 0 nên $\overline{abc}$ + $\overline{def}$ $\geq $ 200

Do đó $\overline{abc}$ + $\overline{def}$ = 200 thì $\overline{abc}$ = $\overline{def}$ = 100

Vậy số cần tìm là 100100

Bài 46. Tìm số tự nhiên x, biết:

a) $2^{x}+12=44$

b) $2.5^{x+1}-1100=6.5^{2}$

c) $2.3^{x+1}=10.3^{12}+8.3^{12}$

d) $2^{x}+2^{x+3}=144$

Trả lời:

a) $2^{x}+12=44$

<=> $2^{x}=32$

<=>  $2^{x} = 2^{5}$

<=> x = 5

b) $2.5^{x+1}-1100=6.5^{2}$

<=> $2.5^{x+1}-1100=150$

<=> $2.5^{x+1}=1250$

<=> $5^{x+1}=625$

<=> $5^{x+1}=5^{4}$

<=> x + 1 = 4

<=> x = 3

c) $2.3^{x+1}=10.3^{12}+8.3^{12}$

<=> $2.3^{x+1}=18.3^{12}$

<=> $3^{x+1}=9.3^{12}$

<=> $3^{x+1}=3^{2}.3^{12}$

<=> $3^{x+1}=3^{14}$

<=> x + 1 = 14

<=> x = 13

d) $2^{x}+2^{x+3}=144$

<=>  $2^{x}+2^{x}.2^{3}=144$

<=> $9.2^{x}=144$

<=> $2^{x}=16$

<=> $2^{x}=2^{4}$

<=> x = 4

Bài 47. So sánh:

a) $2^{200}$.$2^{100}$ và $3^{100}$.$3^{100}$

b) $21^{15}$ và $27^{5}$.$49^{8}$

c) $3^{39}$ và $11^{21}$

Trả lời:

a) $2^{200}$.$2^{100}$ và $3^{100}$.$3^{100}$

Ta có:

$2^{200}$.$2^{100}$ = $2^{300}$ = $2^{3.100}$ = $8^{100}$

$3^{100}$.$3^{100}$ = $3^{200}$ = $3^{2.100}$ = $9^{100}$

Do 9 > 8 nên  $8^{100}$ < $9^{100}$  

Vậy $2^{200}$.$2^{100}$ < $3^{100}$.$3^{100}$

b) $21^{15}$ và $27^{5}$.$49^{8}$

Ta có: 

$21^{15}$ = $(3.7)^{15}$ = $3^{15}$.$7^{15}$

$27^{5}$.$49^{8}$ = $(3^{3})^{5}$.$(7^{2})^{8}$ = $3^{15}$.$7^{16}$

Do 16 > 15 nên $7^{15}$ < $7^{16}$ hay $3^{15}$.$7^{15}$ < $3^{15}$.$7^{16}$

Vậy $21^{15}$ < $27^{5}$.$49^{8}$

c) $3^{39}$ và $11^{21}$

Ta có: $3^{39}$ < $3^{40}$ = $3^{2.20}$ = $(3^{2})^{20}$ = $9^{20}$ < $11^{20}$ < $11^{21}$

Vậy $3^{39}$ < $11^{21}$

Bài 48. Tìm chữ số tận cùng của kết quả mỗi phép tính sau:

a) $54^{10}$

b) $49^{15}$

c) $11^{20}$ + $119^{21}$ + $2000^{22}$

d) $138^{33}$ - $2020^{14}$

Trả lời:

a) $54^{10}$ = $54^{2.5}$ = $2916^{5}$ có tận cùng là 6

b) $49^{15}$ = $49^{14}$.49 = $49^{2.7}$.49 = $2401^{7}$.49

Do $2401^{7}$ có tận cùng là 1 nên $2401^{7}$.49 có tận cùng là 9

Vậy $49^{15}$ có tận cùng là 9

c) $11^{20}$ + $119^{21}$ + $2000^{22}$

Ta có:

$11^{20}$ có tận cùng là 1

$119^{21}$ có tận cùng là 9

$2000^{22}$ có tận cùng là 0

Do đó $11^{20}$ + $119^{21}$ + $2000^{22}$ có tận cùng là 0

d) $138^{33}$ - $2020^{14}$

Ta có :

$138^{33}$ = $138^{32}$.18 = $138^{4.8}$.18. Vì $138^{4}$ có tận cùng là 6 nên $138^{4.8}$ có tận cùng là 6

Từ đó  $138^{33}$ có tận cùng là 8

$2020^{14}$ có tận cùng là 0

Vậy $138^{33}$ - $2020^{14}$ có tận cùng là 8

Bài 49. a) Cho A = 4 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{2005}$. Chứng tỏ rằng A là một lũy thừa của cơ số 2

b) Cho B = 5 + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ... + $5^{2021}$. Chứng tỏ rằng B + 8 không thể là bình phương của một số tự nhiên.

Trả lời:

a) A = 4 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{2005}$.

2A = 2.(4 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{2005}$) 

     = 8 + $2^{3}$ + $2^{4}$ + ... + $2^{2006}$

=> 2A - A = (8 + $2^{3}$ + $2^{4}$ + ... + $2^{2006}$) - (4 + $2^{2}$ + $2^{3}$ + ... + $2^{2005}$)

Hay A = $2^{2006}$

Vậy A là một lũy thừa của cơ số 2

b) B = 5 + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ... + $5^{2021}$

Ta thấy các lũy thừa cửa cơ số 5 là một số có tận cùng là 5.

Mà B có 2021 số hạng là lũy thừa của cơ số 5 nên chữ số tận cùng của B là 5.

Suy ra B + 8 có tận cùng là 3 nên không thể là bình phương của một số tự nhiên.