Bài 119. Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 19 và 46                        b) 27 và 315                           

c) 60, 72, 63                      d) 60, 100, 140

Trả lời:

a) Ta có: 19 = $19^{1}$; 46 = 2.23

Vậy BCNN(19, 46) = 19.2.23 = 874

b) Ta có: 27 = $3^{3}$; 315 = $3^{2}$.5.7

Vậy BCNN(27, 315) = $3^{3}$.5.7 = 945

c) Ta có: 60 = $2^{2}$.3.5; 72 = $2^{3}$.$3^{2}$; 63 = $3^{2}$.7

Vậy BCNN(60, 72, 63) = $2^{3}$.$3^{2}$.5.7 = 2520

d) Ta có: 60 = $2^{2}$.3.5; 100 = $2^{2}$.$5^{2}$; 140 = $2^{2}$.5.7

Vậy BCNN(60, 100, 140) = $2^{2}$.3.$5^{2}$.7 = 2100

Bài 120. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số là bội chung của 11 và 12?

Trả lời:

Ta có: 11 là số nguyên tố: 12 = $2^{2}$.3.

Do đó BCNN(11, 12) = $2^{2}$.3.11 = 132

Vậy các số tự nhiên có 3 chữ số là bội chung của 11 và 12 là: 132, 264, 396, 528, 660, 792, 924. Có 7 số

Bài 121. Lịch cập cảng của ba tàu như sau: tàu thứ nhất cứ 5 ngày cập cảng 1 lần; tàu thứ hai cứ 8 ngày cập cảng 1 lần; tàu thứ ba cứ 10 ngày cập cảng 1 lần. Vào một ngày nào đó, ba tàu cùng cập cảng. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì cả ba tàu lại dùng cập cảng?

Trả lời:

Ta có BCNN(5, 8, 10) = 40

Vậy sau đó 40 ngày thì 3 tàu lại cùng cập cảng.

Bài 122. Trong một đợt trồng cây, học sinh của lớp 6B đã trồng được một số cây. Số đó là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 10 dư 9. Học sinh lớp 6B đã trồng được bao nhiêu cây?

Trả lời:

Gọi số cây lớp 6B đã trồng được là a (a là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn bài toán)

Ta được: a chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 10 dư 9.

Do đó a + 1 chia hết cho 3, 4, 5 và 10

a nhỏ nhất nên a + 1 nhỏ nhất, suy ra a + 1 = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60

=> a = 59

Vậy số cây lớp 6B trồng được là 59 cây.

Bài 123. Học sinh của một trường trung học cơ sở khi xếp hàng 20 học sinh, hàng 25 học sinh và hàng 30 học sinh thì đều thừa 15 học sinh, nhưng xếp vào hàng 41 học sinh thì vừa đủ. Tính số học sinh của trường đó, biết số học sinh của trường ít hơn 1200 học sinh.

Trả lời:

Gọi số học sinh của trường đó là a (15 < a < 1200)

Vì khi xếp hàng 20 học sinh, hàng 25 học sinh và hàng 30 học sinh thì đều thừa 15 học sinh nên a - 15 chia hết cho 20, 30 và 50

Hay a - 15 là bội chung của 20, 30 và 50

Vì 15 < a < 1200 nên a - 15 $\in $ {300; 600; 900}

<=> a $\in $ {315; 615; 915}

Mà xếp vào hàng 41 học sinh thì vừa đủ nên a chia hết cho 41 do đó a = 615

Vậy số học sinh trường đó là 615 học sinh.

Bài 124. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 1.

Trả lời:

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x > 1)

Do x chia cho 3 và 5 đều dư 1 nên x - 1 đều chia hết cho cả 3 và 5

=> x - 1 $\in $ {0; 15; 30; 45; 60; ...} (1)

Mặt khác 4 chia 4 dư 3 nên x có dạng 4a + 3 (a là số tự nhiên)

Suy ra x - 1 = 4a + 3 - 1 = 4a + 2 nên x - 1 là một số chẵn và x - 1 > 2 (2)

a nhỏ nhất nên x - 1 nhỏ nhất do đó từ (1) và (2) ta có x - 1 = 30 hay x = 31

Bài 125. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4.

Trả lời:

Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 1)

Do a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 nên 2a chia cho 3, 5, 7 đều dư 1.

Suy ra 2a - 1 chia hết cho 3, 5, 7

Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 cũng nhỏ nhất

Nên 2a - 1 = BCNN(3, 5, 7) = 105

Vậy a = 53

Bài 126. Tìm số tự nhiên có dạng $\overline{956xy}$ sao cho số đó chia hết cho cả 6, 7, 11 và 27

Trả lời:

Vì $\overline{956xy}$ chia hết cho cả 6, 7, 11 và 27 nên $\overline{956xy}$ là bội chung của 6, 7, 11 và 27.

Ta có BCNN(6, 7, 11, 27) = 4158 nên $\overline{956xy}$ = k.4158

Mặt khác 95599 < $\overline{956xy}$ < 95700 nên 95599 < k.4158 < 95700

Hay 22 < k < 24. 

Mà k là số tự nhiên nên k = 23

Do đó số cần tìm là 23.4158 = 95634

Bài 127. Tìm hai số tự nhiên a, b sao cho : 0 < a < b, a + b = 42 và BCNN(a, b) = 72

Trả lời:

Ta thấy BCNN(a, b) = 72 chia hết cho 2 nên trong hai số a, b có ít nhất một số chia hết cho 2.

Giả sử a chia hết cho 2, mà a + b = 42 chia hết cho 2 nên b cũng chia hết cho 2. Như vậy cả a và b đều chia hết cho 2

Tương tự a, b đều chia hết cho 3

Suy ra a và b đều chia hết cho 6, hay a và b là bội của 6

Mà 0 < a < b, a + b = 42 và BCNN(a, b) = 72 nên ta có bảng giá trị sau:

Vậy a = 18, b = 24