Bài 58. a) Trong các số sau: 3, 4, 7, 14, 16, 23, 36, 48, 96, số nào là ước của 96?

b) Tìm các ước lớn hơn 10 của 115.

c) Tìm các bội lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 của 15

d) Tìm các ước của 32

Trả lời:

a) Các số là ước của 96 là: 3, 4, 16, 48 ,96

b) Các ước lớn hơn 10 của 115 là: 23, 115

c) Các bội lớn hơn 100 và nhỏ hơn 200 của 15 là: 105, 120, 135, 150,165, 180, 195

d) Các ước của 32 là: 1, 2, 4, 8, 16, 32

Bài 59. Cho các số 44, 7345, 18488, 66713, 289935, 1987650, 369121600

a) Viết tập hợp A gồm các số chia hết cho 2 trong các số trên.

b) Viết tập hợp B gồm các số chia hết cho 5 trong các số trên

c) Viết tập hợp C các số chia hết cho cả 2 và 5 trong các số trên.

Trả lời:

a) A = {44; 18488; 1987650; 369121600}

b) B = {7345; 289935; 1987650; 369121600}

c) C = {1987650; 369121600}

Bài 60. Không tính giá trị biểu thức, hãy giải thích tại sao: C = 13 + $13^{3}$ + 177.$13^{5}$ - 12 không chia hết cho 13.

Trả lời:

Ta có: C = 13 + $13^{3}$ + 177.$13^{5}$ - 12 = 13.(1 + $13^{2}$ + 177.$13^{4}$) - 12

Mà 13 chia hết cho 13 nên 13.(1 + $13^{2}$ + 177.$13^{4}$), 12 không chia hết cho 13 do đó C không chia hết cho 13

Bài 61. Một người bán năm rổ cam và xoài. Mỗi rổ chỉ đựng một loại quả cam hoặc xoài với lượng quả ở năm rổ như sau: 20 quả, 25 quả, 30 quả, 35 quả, 40 quả. Sau khi bán một rổ xoài trong năm rổ trên thì người ấy thấy rằng số cam gấp 2 lần số xoài còn lại. Tính số cam lúc đầu.

Trả lời:

Tổng số cam và xoài lúc đầu là:

20 + 25 + 30 + 35 + 40 = 150 (quả)

Vì sau khi bán một rổ xoài thì số cam gấp 2 lần số xoài còn lại nên tổng số cam và xoài còn lại phải chia hết cho 3.

Mà 150 chia hết cho 3 nên số xoài của rổ bán đi cũng phải chia hết cho 3 do vậy rổ xoài đã bán có 30 quả.

Số cam và xoài còn lại là:

 150 - 30 - 120 (quả)

Số cam gấp 2 lần số xoài nên số cam lúc đầu là:

120 : 3 x 2 = 80 (quả)

Đáp số: 80 quả

Bài 62. Chứng tỏ rằng:

a) (a + 2021).(a + 2020) là một bội của 2 với mọi số tự nhiên a

b) (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) là một bội của 3 với mọi số tự nhiên a

c) $(7a)^{2020}$ là bội của 49 với mọi số tự nhiên a

Trả lời:

a) Xét 2 trường hợp:

+) a là số lẻ thì a + 2021 là số chẵn và chia hết cho 2.

Do đó (a + 2021).(a + 2020) chia hết cho 2 hay (a + 2021).(a + 2020) là một bội của 2

+) a là số chẵn thì a + 2020  số chẵn và chia hết cho 2.

Do đó (a + 2021).(a + 2020) chia hết cho 2 hay (a + 2021).(a + 2020) là một bội của 2

Vậy (a + 2021).(a + 2020) là một bội của 2 với mọi số tự nhiên a

b) Ta xét 3 trường hợp:

+) a chia hết cho 3 thì 2a + 3 chia hết cho 3

Do đó (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) chia hết cho 3 hay (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) là một bội của 3

+) a chia cho 3 dư 1 thì 2a + 2 chia hết cho 3

Do đó (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) chia hết cho 3 hay (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) là một bội của 3

+) a chia cho 3 dư 2 thì 2a + 1 chia hết cho 3

Do đó (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) chia hết cho 3 hay (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) là một bội của 3

Vậy (2a + 1).(2a + 2).(2a + 3) là một bội của 3 với mọi số tự nhiên a

c) Ta có: $(7a)^{2020}$ = $7^{2020}$.$a^{2020}$ = $7^{21010}$.$a^{2020}$ = $49^{1010}$.$a^{2020}$

Do $49^{1010}$ chia hết cho 49 nên $49^{1010}$.$a^{2020}$ chia hết cho 49

Vậy $(7a)^{2020}$ là bội của 49 với mọi số tự nhiên a

Bài 63. Chứng tỏ rằng:

a) A = 1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{10}$ + $3^{11}$ chia hết cho cả 5 và 8

b) B = 1 + 5 + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ... + $5^{7}$ + $5^{8}$ chia hết cho 31

Trả lời:

a) A = 1 + 3 + $3^{2}$ + $3^{3}$ + ... + $3^{10}$ + $3^{11}$ 

       = (1 + 3 + $3^{2}$ + + $3^{3}$) +($3^{4}$ + $3^{5}$ + $3^{6}$ + $3^{7}$) + ($3^{8}$ + $3^{9}$ + $3^{10}$ + $3^{11}$)

       = 1.(1 + 3 + $3^{2}$ + + $3^{3}$) + $3^{4}$.(1 + 3 + $3^{2}$ + + $3^{3}$) + $3^{8}$(1 + 3 + $3^{2}$ + + $3^{3}$)

       = 1.40 + $3^{4}$.40 + $3^{8}$.40

       = (1 + $3^{4}$ + $3^{8}$).40

Mà 40 chia hết cho 5 và 8 nên (1 + $3^{4}$ + $3^{8}$).40 chia hết cho 5 hay A chia hết cho 5 và 8

Vậy A chia hết cho 5 và 8

b) B = 1 + 5 + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ... + $5^{7}$ + $5^{8}$ 

       = (1 + 5 + $5^{2}$) + ($5^{3}$ + $5^{4}$ + $5^{5}$) +  ($5^{6}$ + $5^{7}$ + $5^{8}$)

       = 1.((1 + 5 + $5^{2}$) + $5^{3}$.(1 + 5 + $5^{2}$) + $5^{6}$.(1 + 5 + $5^{2}$)

       = 1.31 + $5^{3}$.31 + $5^{6}$.31

       = (1 + $5^{3}$ + $5^{6}$).31

Vì 31 chia hết cho 31 nên (1 + $5^{3}$ + $5^{6}$).31 chia hết cho 31

Vậy B = 1 + 5 + $5^{2}$ + $5^{3}$ + ... + $5^{7}$ + $5^{8}$ chia hết cho 31

Bài 64. Cho a, b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện a chia 51 dư 2 và b chia 17 dư 3. Hỏi 2a + 3b có là bội của 17 không?

Trả lời:

a chia 51 dư 2 nên a = 51.q + 2

b chia 17 dư 3 nên b = 17.p + 3

(q, p là các số tự nhiên)

2a + 3b = 2.(51.q + 2) + 3.(17.p + 3) = 102q + 4 + 51p + 9 = 102q + 51p + 13

Do 102q và 51p đều chia hết cho 17 mà 13 không chia hết cho 17 nên 102q + 51p + 13 không chia hết cho 17

Hay 2a + 3b không là bội của 17

Bài 65. Tìm số tự nhiên n > 1 sao cho:

a) n + 5 chia hết cho n + 1

b) 2n + 1 chia hết cho n - 1

Trả lời:

a) Ta có n + 5 = (n + 1) + 4

Để n + 5 chia hết cho n + 1 thì 4 chia hết cho n + 1

Khi đó n + 1 là ước của 4. Mà n > 1 nên n + 1 > 2 nên n + 1 là ước lớn hơn 2 của 4

Do đó n + 1 = 4 <=> n = 3

Vậy n = 3

b) Ta có: 2n + 1 = 2n - 2 + 3 = 2(n-1) + 3

Để 2n + 1 chia hết cho n - 1 thì 3 chia hết cho n - 1

Khi đó n - 1 là ước của 3 

=> n - 1 thuộc {1, 3}

=> n = 2 hoặc n = 4

Vậy n = 2 hoặc n = 4