Định lí: Tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2+ bx + c (a ≠0)\)

có biệt thức \(Δ = b^2– 4ac\)

• Nếu \(Δ < 0\)thì \(f(x)\)cùng dấu với hệ số \(a\)với mọi \(x∈\mathbb R\)
• Nếu \( Δ = 0\)thì \(f(x)\)luôn cùng dấu với hệ số \(a\)với mọi  \(x \ne {{ - b} \over {2a}}\)
• Nếu \(Δ >0\) thì \(f(x)\)có hai nghiệm \(x_1;x_2(x_1<x_2)\)

\( f(x)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi  \(x<x_1\) hoặc  \(x>x_2\)

\(f(x)\) trái dấu với hệ số \(a\) khi  \(x_1<x<x_2\)

Áp dụng: \(f(x) =  - 2{x^2} + 3x + 1 - m\) có hệ số \(a = -2<0\)

Biệt thức: \(Δ = 3^2- 4 .(- 2) (1-m) = 17 - 8m\)

Tam thức \(f(x)\)luôn âm hay \(f(x) < 0 , ∀x  ∈\mathbb R\)khi:

\(\Delta < 0 \Leftrightarrow 17 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > {{17} \over 8}\)

Vậy với \(m>\frac{17}{8}\)thì tam thức đã cho luôn đạt giá trị âm.