Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn cần tìm, ta có:

• $I\in \Delta: 4x+3y-2=0 \Leftrightarrow 4a+3b-2=0\,\ (1)$
• $d(I;d_1)=d(I;d_2)$

$\Leftrightarrow \frac{|a+b+4|}{\sqrt2}=\frac{|7a-b+4|}{\sqrt50} \Leftrightarrow \frac{|a+b+4|}{\sqrt2}=\frac{|7a-b+4|}{5.\sqrt2} \Leftrightarrow |a+b+4|=\frac{|7a-b+4|}{5}$

       $\Leftrightarrow \left[ \matrix{5.(a+b+4)=7a-b+4 \hfill \cr 5.(a+b+4)=-(7a-b+4) \hfill \cr} \right.$

       $\Leftrightarrow \left[ \matrix{a+3b-8=0 \hfill \cr 3a+b+6=0 \hfill \cr} \right.\,\ (2)$

Từ (1) (2) suy ra:

$\left\{\begin{matrix} 4a+3b-2& =0\\ a-3b-8 & =0\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} 4a+3b-2& =0\\ 3a+b+6 & =0\end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x& =2\\ y & -2\end{matrix}\right.$ hoặc $\left\{\begin{matrix} x& =-4\\ y & =6\end{matrix}\right.$

• Với $I(2;-2)$ => $R=d(I;d_1)=\frac{|2-2+4|}{\sqrt2}=2\sqrt2$

=> Phương trình $(C_1)$ là: $(x-2)^2+(y+2)^2=8$

• Với $I(-4;6)$ => $R=d(I;d_1)=\frac{|-4+6+4|}{\sqrt2}=3\sqrt2$

=> Phương trình $(C_1)$ là: $(x+4)^2+(y-6)^2=18$