Tam giác $ABC$ có: $AB=c;AC=b;BC=a$, bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R$, $AH\perp BC;AH=h_a$.

a) Trong tam giác \(ABC\), theo định lí cosin ta có:

\(\eqalign{& \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \cr & \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr}\) 

Suy ra: 

\(\eqalign{& b\cos C + c\cos B = b({{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}) + c({{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}) \cr& = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} =a \cr} \)

Vậy \(a = b \cos C + c \cos B\)

b) Trong tam giác \(ABC\) , theo định lí sin:

\(\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr 
& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}},\sin C = {c \over {2R}} \cr} \)

 Ta có: 

\(\eqalign{& \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr & = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr 
& = {a \over {2R}} = \sin A \cr} \)

c) Ta lại có: \(a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\)

mà \(S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}(2)\)

Thế \(b = 2RsinB, c = 2Rsin C\) vào (2) ta được:

\({h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}} \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\)