Ta có:

a) Gọi K là trung điểm của BC.

Tam giác ABC cân tại A 

=> AK là đường trung trực của BC.

Do các đường trung trực d, d' tương ứng của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I 

=>A, K, I thẳng hàng 

=> KI ⊥ DE (1)

Xét tam giác vuông BQD  và tam giác CPE ta có:

BQ = CP

góc QBD= góc PCE

=> ΔBQD=ΔCPE (cạnh góc vuông - góc nhọn) 

=> BD = EC 

 BK = KC 

=> DK = KE (2)

Từ (1) (2) 

=> I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Do IA = IB = IC

=> đường tròn bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Xét tam giác IAB ta có:

 IA = IB ;

 góc IAB=60∘ 

=> tam giác IAB đều  

=> góc IBA=60∘

=> $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{IBA}=30^{\circ}$

Tam giác IBC có IB = IC 

=> tam giác IBC cân tại I 

=> $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}=30^{\circ}$

$\widehat{BIC}=180−30∘−30=120^{\circ}$