Vẽ hình:

Chứng minh:

Gọi E, K, H lần lượt là giao điểm của các đường vuông góc kẻ từ I đến AB, BC, AC.

Xét tam giác vuông AIE và AIH ta có:

AI chung

IE = IH (gt)

=> ΔAIE=ΔAIH (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 

=> $\widehat{IAE}=\widehat{IAH}$ 

=> AI là tia phân giác góc A

Tương tự ta có ΔCIH=ΔCIK (cạnh huyền - cạnh góc vuông) 

=>$\widehat{ICH}=\widehat{ICK}$ 

=> BI là tia phân giác góc B;

ΔBIK=ΔBIE (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=>$\widehat{IBK}=\widehat{IBE}$ 

=> CI là tia phân giác góc C

Vậy I là giao điểm của ba đường phân giác 

=> I là trọng tâm và cách đều ba đỉnh của tam giác (do tam giác ABC đều)