Ta có:

a) 

Ta có $(–3 + 0 – 1)\times (1 – 2 – 1) = 8 > 0$ nên theo tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta có A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

b) 

Dựa vào phương trình đường thẳng d ta có:

x + y – 1 = 0

⇔ y = 1 – x

Vì M thuộc đường thẳng d nên toạ độ của điểm M có dạng M(t; 1– t).

Chu vi tam giác ABM là: AB + MA + MB

Mà AB luôn không đổi nên chu vi tam giác ABM nhỏ nhất khi và chỉ khi MA + MB nhỏ nhất.

Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d. Khi đó ta có:

MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

Dấu bằng xảy ra khi M = A’B ∩ d

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d. Khi đó AH đi qua điểm A(–3;0) và nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$=(1;−1) của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến nên phương trình của AH là:

1(x + 3) – 1(y – 0) = 0

⇔ x – y + 3  = 0

Vậy toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-y+3=0\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x+y=1\\ x-y=-3\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=-1\\ y=2\end{matrix}\right.$

=> H(–1; 2). Mặt khác, H là trung điểm của AA’:

$xH = (xA + xA’) : 2 ⇔  xA’ ­­­­­­= 2xH – xA = 2\times (–1) – (–3) = 1$

$yH = (yA + yA’) : 2 ⇔  yA’ ­­­­­­= 2yH – yA = 2\times 2 – 0 = 4$

=> A’(1; 4)

Ta có $\overrightarrow{A'B}$=(0;−6) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’B. Do đó A’B là đường thẳng đi qua đểm A’(1; 4) và nhận $\overrightarrow{n}$=(1;0) là một vectơ pháp tuyến. Phương trình của đường thẳng A’B là:

1(x – 1) + 0(y – 4) = 0

⇔ x – 1 = 0

Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}1+y-1=0\\ x=1\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=1\\ y=0\end{matrix}\right.$

=> M(1; 0)