Ta có:

a) 

Đường thẳng d qua điểm A(3; 1) và song song với đường thẳng ∆ nên nhận vectơ pháp tuyến bằng vectơ pháp tuyến của ∆ là: $\overrightarrow{n}$ = (2; 1)

Phương trình đường thẳng d:

2(x – 3) + 1(y – 1) = 0

⇔ 2x + y – 6 – 1 = 0

⇔ 2x + y – 7 = 0.

b) 

Đường thẳng k đi qua điểm B(–1; 0) và vuông góc với đường thẳng ∆ nên vectơ pháp tuyến của k vuông góc với vectơ pháp tuyến của ∆. Do $\overrightarrow{n}$ = (2; 1) là một vectơ pháp tuyến của ∆ nên $\overrightarrow{n'}$ = (1; –2) là một vectơ pháp tuyến của d.

Phương trình đường thẳng k:

$1\times [x – (–1)] – 2\times (y – 0) = 0$

⇔ x – 2y + 1 = 0.

c) 

Đường thẳng a song song với đường thẳng ∆ nên nhận vectơ pháp tuyến bằng vectơ pháp tuyến của ∆ là: $\overrightarrow{n}$ = (2; 1)

Phương trình đường thẳng a có dạng: 2x + y + c = 0 với c ≠ –5.

Theo công thức tính khoảng cách ta có

$d(O;a)=\frac{2\times  0+0+c}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}}=\sqrt{5}$

⇔ |c| = 5

⇔ c = ±5

Mà c ≠ –5 => c = 5

Vậy phương trình đường thẳng a: 2x + y + 5 = 0.